Сложная процентная ставка и наращенная сумма сложных процентов

Краткая теория

Расчеты по сложным процентам используются при долгосрочных финансовых операциях. Они основаны на условии, что начисленные за период проценты присоединяются к первоначальной сумме, а определение суммы процентов за следующий период производится исходя из наращенной к началу этого периода суммы. Таким образом, исходная база начисления в каждом периоде увеличивается на сумму присоединившихся процентов. Процесс наращения происходит здесь с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Покажем это, пользуясь приведенными ранее обозначениями. Сумма начисленных процентов за первый период равна , исходная база расчета процентов для второго периода, или, что то же самое, наращенная сумма к концу первого периода, составит , сумма начисленных процентов за второй период будет равна , а наращенная сумма к концу второго периода составит

К концу третьего периода, соответственно:

Для n-го периода наращенная сумма сложных процентов:

Следовательно, наращенная сумма долга за весь период может быть получена как сумма членов геометрической прогрессии, первый член которой равен , а знаменатель .

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты, различие между которыми обусловливается сроками сделок. Наращение по простым процентам больше наращения по сложным процентам, если срок сделки меньше 1 года. Разность между наращенной суммой по простым и сложным процентам увеличивается при периоде начисления от 0 до 0,5 года, затем уменьшается и превращается в нуль при сроке операции, равном одному году, т. е. если срок сделки 1 год, то сумма наращения по простым процентам совпадает с суммой наращения по сложным процентам (при одной и той же первоначальной сумме долга).

При сроке сделки больше года наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам. Для определения эквивалентных значений простых и сложных процентных ставок составляют уравнение эквивалентности.

В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и так далее.

Пусть годовая ставка равна , а число периодов начисления в году равно . Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке . Ставку называют номинальной.

Формулу наращения сложных процентов теперь можно представить следующим образом:

Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач

Пример 1

Сравните суммы процентов, начисленных за использование кредита в 500 тыс. руб., выданного на 1 год, если известно, что в одном банке проценты начисляются ежемесячно, а в другом банке – ежеквартально. Номинальная ставка процентов по кредиту в обоих банках одинакова и составляет 16% годовых.

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Дано:

Решение:

Сумма процентов, начисленная по сложной ставке:

Подставляя числовые значения, получаем:

Разница:

Ответ: Начисленные проценты в первом банке больше на 1,206 тыс. руб. Во втором банке кредит брать выгоднее.

Пример 2

Денежные средства внесены на банковский депозит под годовых. На какой срок должен быть заключен депозитный договор, чтобы наращенная сумма была в раза больше внесенной. Задачу решить для случаев начисления простых и сложных процентов.

Дано:

Решение:

По формуле простых процентов наращенная сумма:

Отсюда срок вклада:

По формуле сложных процентов наращенная сумма:

Отсюда найдем срок вклада:

Ответ: В случае простых процентов 33,3 лет, в случае сложных процентов 16,1 лет.

Пример 3

Клиенту требуется через полгода иметь на счете 10 млн. руб. На какую процентную ставку рассчитывает вкладчик, если собирается положить в банк 9,8 млн. руб. (проценты начисляются ежеквартально)?

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Дано:

Решение:

Наращенная сумма по формуле сложных процентов:

Отсюда найдем процентную ставку:

Ответ: .

Пример 4

На первоначальную сумму в течение 5 лет начисляются сложные годовые проценты по ставке 12% раз в конце года. Во сколько раз вырастет наращенная сумма, если проценты будут начисляться ежемесячно.

Дано:

Решение:

Наращенная сумма по формуле сложных процентов:

В нашем случае:

Получаем:

Наращенная сумма вырастет в 1,031 раз

Ответ:

Пример 5

На какую сумму следует открыть депозит, чтобы за полтора года на счете вкладчика накопить 500 тыс. руб., если банк предлагает сложную ставку 8% годовых с ежеквартальным начислением процентов?

Дано:

Решение:

Наращенная сумма по формуле сложных процентов:

Отсюда исходная сумма:

Ответ: чтобы за 1,5 года накопить на счете сумму 500 тыс. руб., необходимо открыть депозит на сумму 443,986 тыс. руб.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Через сколько лет первоначальная сумма увеличится в 1000 раз, если на нее начисляются сложные годовые проценты по ставке 12% при: а) начислении процентов в конце года; б) ежемесячном начислении процентов?

Задача 2

Господин Н поместил в банк 50 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных процентов по годовой ставке 12%. Через полтора года он снял со счета 20 тыс. руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Определить сумму, полученную им при закрытии счета.

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 3

Два денежных взноса, один из которых на 30 000 руб. больше другого, вырастут за 15 лет с процентной ставкой 6% так, что вместе составят 100 000 руб. Капитализация полугодовая. Чему равны эти два денежных взноса?

Задача 4

Необходимо инвестировать 350 000 руб. сроком на три года. Есть два варианта: вклад с простой процентной ставкой 15% и вклад с ежедневным начислением сложных процентов по годовой ставке 14%. Определите наиболее выгодный для инвестора вариант расчета процентов и вложения средств.

Задача 5

10 млн. руб. инвестированы на два года по ставке 30% годовых. Требуется найти наращенную сумму за два года, если начисление процентов производится: а) по полугодиям; в) ежеквартально.

Задача 6

11 лет назад в банк было вложено 34560 руб., а 5 лет назад – 45000 руб. Какой капитал нужно вложить сегодня, чтобы сумма всех вложений через 16 лет была равна 835000 руб. Процентная ставка равно 10%, а капитализация годовая.

Задача 7

Первоначальный долг в размере 10000 руб. через 180 дней вырос до 20000 руб. Определить годовую процентную ставку, по которой начислялись проценты:

а) простые проценты;

б) сложные проценты один раз в год;

Задача 8

На вклад в размере 15000 руб. ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой процентной ставке 12%. Какой будет величина вклада через 1,5 года?

Задача 9

Определить ставку начисления сложных процентов, если известно, что по истечении 3 лет было получено 240 000 руб., при этом начальная сумма вклада составляла 180 000 руб.

Задача 10

Вклад в размере 20000 руб. под 10% годовых сроком на 2 года предусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Рассчитать величину вклада в конце каждого квартала в течение срока вклада. Повторить расчет для случая начисления простых процентов по той же ставке и сравнить полученные результаты.

Задача 11

На начальную сумму в 1000$ в течение 4 лет начисляются каждые полгода сложные проценты по номинальной ставке 5%. На сколько увеличится или уменьшиться наращённая сумма, если номинальная ставка и число периодов капитализации процентов возрастут вдвое?

Задача 12

Сумма 18000 руб. выплачивается через 3,8 года. Номинальная ставка процентов – 18,5% годовых. Определить современную стоимость при ежемесячном начислении процентов.

Задача 13

Остров Манхэттен был куплен в 1624 г. у индейского вождя за 24$. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась в 40 млрд.$. При какой ставке годовых процентов возможен такой рост?

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 14

Вы делаете вклад в банк в размере 100 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 8 % годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов производится по схеме простых и сложных процентов: а) ежегодно б) каждые полгода?

Задача 15

Кредит в сумме 2500$ выдан на 8 лет. Сложная ставка годовых процентов менялась от периода к периоду: на протяжении первых 3 лет действовала ставка 7,5%, в следующие 3 года – 8%, в последнем периоде – 8,2%. Какую сумму нужно вернуть в конце восьмого года?

Задача 16

Каково минимально приемлемое значение годовой ставки сложных процентов, если ссуда должна быть удвоена в течение 3-х лет.

Задача 17

Первоначальная сумма ссуды 20,0 тыс. руб. срок ссуды 3 года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8 % годовых. Определить множитель наращения и погашаемую сумму.

Задача 18

Первоначальная сумма ссуды 50 тыс. руб. выдана на 2 года. Проценты начисляются по годовой номинальной ставке 12%. Чему равна конечная сумма долга, если:

- проценты начисляются один раз в конце года,

- проценты начисляются четыре раза в год (в конце каждого квартала).

Результаты сравнить и сделать выводы.

Задача 19

Какова ставка сложных процентов, если сумма долга удвоилась за 5 лет?

Задача 20

Вкладчик намерен положить деньги в банк под 15% годовых. Определить сумму вклада, необходимую для накопления через 2 года 50 тыс. руб. в случае простых и сложных процентов.

Задача 21

На 1 марта 2011 г. принято обязательство выплатить 1 млн. руб. (с процентами) к сроку 1 марта 2013 г. При расчетах принять ставку (схема сложных процентов) 15% годовых. Требуется: найти наращенную сумму долга к сроку выплаты.

Задача 22

За какой период первоначальный капитал в размере 40000 руб. вырастет до 75000 руб. при простой (сложной) ставке 15% годовых?

Задача 23

Сравнить сроки удвоения суммы 1000 руб. при начислении сложных процентов:

а) по полугодиям;

б) ежеквартально;

в) непрерывно.

Задача 24

Банк ежегодно начисляет сложные проценты на вклады по ставке 25% годовых. Определить сумму, которую надо положить в банк, чтобы через 3 года накопить 100 млн. руб.

Задача 25

Вкладчик закрывает в банке двухгодичный депозит и получает сумму 124 тыс.р. Какую сумму он внес на депозит два года назад, если сложная процентная ставка 11% с полугодовым начислением процентов?

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 26

Промышленное предприятие вносит на счет в банке некоторую сумму, чтобы через пять лет обновить оборудование в цехе. Сколько денег необходимо внести предприятию, если обновление цеха обойдется 10.5 млн.р., а сложная ставка процента 10%, при ежеквартальном начислении процентов.

Задача 27

Сравните скорость наращения суммы в 1000 руб. по простым и сложным процентам, если годовая ставка равна 20%, для сроков в полгода, год, два года, три года. Сравните результаты, сделайте выводы.

Задача 28

Банк выдает ссуду на 10 лет или под процент 7 % годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

Задача 29

Банк предоставил ссуду в размере 9000 рублей на 3.5 года под 20% годовых на условиях полугодового начисления процентов. Определить возвращаемую сумму при различных схемах начисления процентов: простых и сложных.

Задача 30

Банк начисляет проценты на вклады до востребования по сложной ставке 9% годовых. Определить сумму вклада для накопления через 1.5 года 50 тыс. рублей

Задача 31

Рассчитайте, какая сумма будет на счете, если вклад 10000 руб. положен на 2,5 года по 9 процентов годовых. Решите задачу для простых и сложных процентов, которые начисляются:

а) раз в год;

б) раз в полугодие;

в) ежеквартально;

г) ежемесячно;

д) ежедневно;

е) непрерывно.

Задача 32

Рассчитайте, какая сумма будет через 4 года на счете, если в конце каждого месяца вносится по 1000 руб. Проценты сложные, начисление ежемесячное, годовая ставка 9%.

Задача 33

Фермер взял в банке кредит на сумму 5 млн. руб. под 8 % годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 млн. руб., а еще через год взял кредит на сумму 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?

Задача 34

Кредит в размере 910 000 руб. выдан на два года и 80 дней под 16% годовых по сложной ставке. Найти сумму долга на конец кредита.

Задача 35

За сколько лет долг возрастет с 750 000 руб. до 1 200 000 руб., если ставка сложная годовая 25%.

Задача 36

Кредит в размере 2.350.000 рублей выдан на 4 года и 30 дней под 21% годовых по сложной ставке. Найти сумму долга на конец срока кредита.

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 37

За сколько лет долг возрастет с 830.000 рублей до 1.220.000 рублей, если ставка сложная годовая 18%.

Задача 38

Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j6 = 10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20000 руб. (е) через 3 года 3 месяца?

Задача 39

Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку j_m должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если (е) m = 4?

Задача 40

Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных процентов, если процентная ставка равна: а) 5 %; б) 10 %; в) 15 %; г) 25 %; д) 50 %; е) 75 %; ж) 100 %

Задача 41

Сумма выплаченных процентов составляет 570 тыс. руб. Ссуда выдана сроком на 2 года. Ставка сложных процентов составляет 10% годовых.

Определить:

1. Первоначальную сумму долга.

2. Величину наращенной суммы.

Задача 42

Банк на денежный вклад начисляет проценты в размере 20%. Определить число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в 3 раза при начислении простых и сложных процентов.

Задача 43

Определить число дней, за которое начальный банковский депозит в 2174.03 руб. рублей достигнет величины 2775,64 руб. при сложной ставке наращения i_c=11.43%.

Задача 44

Найдите период времени, за который сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при начислении процентов:

а) По простой ставке 16%;

б) По сложной ставке 18%.

Задача 45

За сколько лет сумма в 1000 у.е. достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной ставке в 16%:

а) Раз в год;

б) Поквартально

Задача 46

Ссуда в размере $100000 выдана на пять с половиной лет под 6% годовых. Проценты начисляются в конце каждого квартала. Найти сумму процентов к выплате.

Задача 47

Облигация стоит 18,75 тысяч рублей, по ней выплачивается 25 тысяч рублей через 10 лет, какая процентная ставка j₂ обеспечит этот рост?

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 48

Депозит рассчитывается по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой 10%. За какое время первоначальная сумма увеличивается в 5 раз?

Задача 49

Определить более выгодный вариант вложения денежных средств в объеме 200 тыс. руб.:

а) сроком на 1 год, получая доход в виде простой процентной ставки 10% годовых;

б) по сложной ставке 8% с поквартальной капитализацией.

Задача 50

Вы имеете 10 млн. р. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?

Задача 51

На счете в банке 1,2 млн. р. Банк платит 12,5% годовых. Предлагается войти всем капиталом в совместное предприятие, при этом прогнозируется удвоение капитала через 5 лет. Принимать ли это предложение?

Задача 52

Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. р. при размещении ее в банке при условиях начисления: а) простых б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды начисления 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.

Задача 53

Владелец 80 тыс. руб. положил эту сумму в Сбербанк сроком на три года из расчета процентной ставки, равной 10% годовых. Вычислите размер дохода по этому вкладу за три года, исходя из того, что владелец денег не снимал проценты по завершению первого и второго годов.

Задача 54

Рассчитать сумму начисленных % (сложные %)

Период 5 лет

Годовая процентная ставка 24%

Капитализация – ежеквартальная

Вклад – 6000 руб.

Задача 55

Вклад в размере 8 тыс. руб. хранился 2 года под 7% годовых, 1 год – под 8% и 3 года – под 9% с полугодовой капитализацией процентов. Определить сумму начисленных процентов.

Задача 56

Найти срок долга, при котором сумма вклада удвоится, если процентная ставка сложных процентов j=0,22 . Проценты начисляются 4 раза в год.

Задача 57

Клиент желает накопить 20 000 руб. через три года 5 месяцев. Банк начисляет проценты по сложной номинально процентной ставки 12 % годовых с ежеквартальным начисление процентов. Какую сумму должен вложить клиент?

Задача 58

Определить минимальную годовую ставку сложных процентов, необходимую для удвоения банковского вклада в течение 4 лет.

Задача 59

Банк начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 4 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 60

Банк начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 15 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.

Задача 61

Найдите период времени, за который сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при начислении процентов:

а) По простой ставке 17%;

б) По сложной ставке 18%.

Задача 62

За сколько лет сумма в 1000 у.е. достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной ставке в 17%:

а) Раз в год;

б) Поквартально

Задача 63

Гражданин решил купить легковой автомобиль за 595 тыс. руб. Какая годовая ставка сложных процентов по депозиту в банке обеспечит накопление необходимо суммы через 4 года, если сейчас у гражданина имеется всего 265 тыс. руб.?

Задача 64

Сколько времени потребуется для того, чтобы начисленные проценты сравнялись с первоначальной вложенной суммой, если сложная годовая учетная ставка составляет 9,5%? Дробную часть года перевести в дни, используя временную базу в 365 дней.

Задача 65

В долг предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. через 28 месяцев. Найдите доходность данной финансовой операции в виде сложной процентной ставки. Временная база 360 дней.

Задача 66

Годовая ставка сложных процентов равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Задача 67

Банк предоставил ссуду в размере 150 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 30% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах начисления сложных процентов: а) годовом; б) полугодовом; в) ежеквартальном.

Задача 68

Клиенту требуется через полгода иметь на счете 10 млн. рублей. На какую процентную ставку рассчитывает вкладчик, если собирается положить в банк 9,8 млн. рублей (проценты начисляются ежеквартально).

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 69

Стоимость нового автомобиля составляет 15000 долларов. Если процентная ставка в банке на вклады сроком более года равна 6%, на какую сумму следует открыть депозит, чтобы собрать в течение двух лет 15000 долларов? Проценты по вкладу начисляются ежеквартально.

Задача 70

Рассчитайте, какая сумма окажется на счете, если 28 тыс. денежных единиц размещены на 33 года под 13,5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода.

Задача 71

Господин Филиппов хочет вложить 5 тыс. руб., чтобы через 2 года получить 7 тыс. руб. Под какую процентную ставку он должен вложить свои деньги?

Задача 72

Сумма размером 5 тысяч рублей инвестирована на 1 год по ставке 15% годовых. Найдите наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении процентов: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно.

Задача 73

В течение семи лет на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 13%. Определите современную величину суммы в 330 млн.р., если проценты начислялись:

а) один раз в год;

б) один раз в полгода.

Задача 74

Кредит получен в сумме 5000000 руб. В конце срока долга уплатили 12000000 руб. Определить срок долга, если начисляются сложные проценты ежемесячно по годовой процентной ставке 0,13.

Задача 75

За какой срок первоначальный капитал в 58 млн. д.е. увеличивается до 180 млн. д.е. если:

А) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 24% годовых;

Б) проценты будут начисляться ежеквартально?

Задача 76

Вкладчик положил в банк под сложную ставку 18% годовых 3000 руб. Какая сумма будет на счете вкладчика а) через 3 месяца; б) через год; в) через 3,5 года?

Задача 77

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Онлайн-помощь на экзамене/зачете/контрольной