Дифференциал функции.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Краткая теория

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение , соответствующее приращению аргумента  в этой точке, может быть представлено в виде:

где ;  – бесконечно малая функция при .

Главная часть  приращения , линейная относительно , называется дифференциалом функции  в точке  и обозначается  или . Таким образом:

Коэффициент  равен , поэтому

или

так как

Применение дифференциала к приближенным вычислениям основано на использовании приближенных равенств:

или

где

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислите приближенное значение функции в заданной точке .

Решение

Для нахождения приближенного значения функции  в точке  воспользуемся формулой:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Примем:

Находим производную:

Значение приращения функции :

Значение функции в точке :

Искомое приближенное значение:

 

Ответ:


Задача 2

Найти приближенно значение функции

при

Решение

Для нахождения приближенного значения функции в точке  воспользуемся формулой:

Примем:

Производная:

Значение функции в точке :

Значение производной в точке :

Искомое приближенное значение:

 

Ответ: 0.587.