Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя

Краткая теория

При раскрытии неопределенностей вида 0/0  и ∞/∞ применяется правило Лопиталя.

Пусть для функций  и  выполняются следующие условия:

1)

или

2)

 и  дифференцируемы и, кроме того,  в некоторой окрестности точки  (за исключением, быть может, самой точки );

3)

или

Тогда

или

Правило Лопиталя имеет место и в случаях, когда  и .

Когда отношение производных приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞, то правило Лопиталя применяют к этому отношению. Перед его повторным применением рекомендуется произвести все допустимые упрощения.

Неопределенность вида  приводится к неопределенности вида 0/0, а неопределенность вида  - к  неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ путем алгебраических преобразований исследуемой функции.

Неопределенности вида  можно свести к неопределенности вида  с помощью тождества

 или

Общие правила вычисления пределов рассматриваются на соседней странице.

Примеры решения задач

Задача

Найти предел функции

в указанной точке, используя правило Лопиталя.

Решение

а)

 

б)

 

 

в)

Возьмем предел логарифма:

Искомый предел:

 

г)

 

д)

 

Прологарифмируем предел:

 

Искомый предел:

К оглавлению решебника по высшей математике