Двумерная непрерывная случайная величина
Краткая теория
Двумерной называют случайную величину
, возможные значения
которой есть пары чисел
. Составляющие
и
, рассматриваемые
одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину
геометрически можно истолковать как случайную точку
на плоскости
либо как случайный вектор
.
Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства
Функцией распределения двумерной случайной величины
называют функцию
, определяющую для каждой
пары чисел
вероятность того, что
примет значение, меньшее
, и при этом
примет значение, меньшее
.
Свойство 1.
Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:
Свойство 2.
есть неубывающая функция по каждому аргументу,
то есть:
если
если
Свойство 3.
Имеют место предельные соотношения:
1)
2)
3)
4)
Свойство 4.
При
функция распределения системы становится
функцией распределения составляющей
:
При
функция распределения системы становится
функцией распределения составляющей
:
Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства
Плотностью совместного распределения вероятностей
двумерной непрерывной случайной величины
называют вторую смешанную частную производную
от функции распределения:
Зная
плотность совместного распределения
можно найти функцию распределения
по формуле:
Свойство 1.
Двумерная плотность вероятности неотрицательна:
Свойство 2.
Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Безусловные и условные законы распределения составляющих
Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих.
Аналогично
находится плотность распределения составляющей
:
Итак, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.
Пусть
- непрерывная двумерная случайная величина.
Условной
вероятностью
распределения составляющих
при данном значении
называют отношение плотности совместного
распределения
системы
к плотности распределения
составляющей
:
Аналогично
определяется условная плотность составляющей
при данном значении
:
Если
известна плотность совместного распределения
, то условные плотности
составляющих могут быть найдены по формулам:
Эти формулы можно записать в виде:
Аналогично
определяется условная плотность составляющей
при данном значении
:
То есть умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.
Смежные темы решебника: