К оглавлению решебника

Двумерная непрерывная случайная величина

Краткая теория

Двумерной называют случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Составляющие  и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку  на плоскости  либо как случайный вектор .

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины  называют функцию , определяющую для каждой пары чисел  вероятность того, что  примет значение, меньшее , и при этом  примет значение, меньшее .

 

Свойство 1.

Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

 

Свойство 2.

 есть неубывающая функция по каждому аргументу, то есть:

 если

  если

 

Свойство 3.

Имеют место предельные соотношения:

1)

2)

3)

4)

 

Свойство 4.

При  функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

При  функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Плотностью совместного распределения вероятностей  двумерной непрерывной случайной величины  называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Зная плотность совместного распределения  можно найти функцию распределения  по формуле:

 

Свойство 1.

Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

 

Свойство 2.

Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Безусловные и условные законы распределения составляющих

Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих.

Аналогично находится плотность распределения составляющей :

Итак, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Пусть   - непрерывная двумерная случайная величина.

Условной вероятностью  распределения составляющих  при данном значении  называют отношение плотности совместного распределения  системы  к плотности распределения  составляющей :

Аналогично определяется условная плотность составляющей  при данном значении :

Если известна плотность совместного распределения , то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

Эти формулы можно записать в виде:

Аналогично определяется условная плотность составляющей  при данном значении :

То есть умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач

Пример 1

Найти плотность совместного распределения f(x,y) системы случайных величин (X,Y) по известной функции распределения:

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

По определению плотности совместно распределения:

Искомая плотность совместного распределения:

Пример 2

Найти функцию распределения системы случайных величин F(x,y) по известной плотности совместного распределения f(x,y):

Решение

Воспользуемся формулой:

В нашем случае:

Ответ:

Пример 3

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольнике ABC.  Определить функции плотности распределения компонент этой случайной величины f(x), f(y), их математические ожидания M(X), M(Y), дисперсии D(X), D(Y), коэффициент корреляции rxy. Выяснить, являются ли случайные величины X и Y независимыми?

A(0;0),B(-1;1),C(1;1)

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

где  – площадь треугольника

Разделим область  на две равные части вдоль оси , тогда из условия:

или

Тогда плотность двумерной случайной величины :

Вычислим плотность составляющей :

при :

Откуда плотность составляющей :

Вычислим плотность составляющей :

при

Плотность составляющей :

Найдем условную плотность составляющей :

при 

Следовательно, случайные величины  и  зависимы

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Найдем дисперсию случайной величины :

 

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Найдем дисперсию случайной величины :

 

Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины :

Тогда ковариация:

Значит коэффициент корреляции:

Следовательно, случайные величины  и  – зависимые, но некоррелированные

Пример 4

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность распределения:

Найти вероятность попадания значения (X,Y) в область x1≤x≤x2, y1≤y≤y2, вероятность попадания значения X в интервал x1≤x≤x2, математическое ожидание M[X] и условное математическое ожидание M[Y⁄X=x].

a=8, b=2, x1=6, x2=9, y1=0, y2=4

Решение

Найдем вероятность попадания в область  по формуле:

При вычислении интеграла учитывается та часть области , где , т.е.

Плотность вероятности для составляющей  имеет вид:

Если  или , то  и .   При   находим:

Таким образом, плотность имеет вид:

 

Тогда:

Условное математическое ожидание  определяется с помощью условной плотности распределения  составляющей

Получаем:

Искомое математическое ожидание:

К оглавлению решебника