Двумерная непрерывная случайная величина

Двумерной называют случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Составляющие  и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку  на плоскости  либо как случайный вектор .

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины  называют функцию , определяющую для каждой пары чисел  вероятность того, что  примет значение, меньшее , и при этом  примет значение, меньшее .

Свойство 1.

Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

Свойство 2.

 есть неубывающая функция по каждому аргументу, то есть:

 если

  если

Свойство 3.

Имеют место предельные соотношения:

1)

2)

3)

4)

Свойство 4.

При  функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

При  функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Плотностью совместного распределения вероятностей  двумерной непрерывной случайной величины  называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Зная плотность совместного распределения  можно найти функцию распределения  по формуле:

Свойство 1.

Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

Свойство 2.

Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

Безусловные и условные законы распределения составляющих

Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих.

Аналогично находится плотность распределения составляющей :

Итак, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Пусть   - непрерывная двумерная случайная величина.

Условной вероятностью  распределения составляющих  при данном значении  называют отношение плотности совместного распределения  системы  к плотности распределения  составляющей :

Аналогично определяется условная плотность составляющей  при данном значении :

Если известна плотность совместного распределения , то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

Эти формулы можно записать в виде:

Аналогично определяется условная плотность составляющей  при данном значении :

То есть умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Смежные темы решебника:

• Двумерная дискретная случайная величина
• Линейный выборочный коэффициент корреляции
• Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов