Двумерная непрерывная случайная величина

Краткая теория
Примеры решения задач

Краткая теория

Двумерной называют случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Составляющие и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку на плоскости либо как случайный вектор .

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел вероятность того, что примет значение, меньшее , и при этом примет значение, меньшее .

Свойство 1.

Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

Свойство 2.

есть неубывающая функция по каждому аргументу, то есть:

если

Свойство 3.

Имеют место предельные соотношения:

Свойство 4.

При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Зная плотность совместного распределения можно найти функцию распределения по формуле:

Свойство 1.

Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

Свойство 2.

Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

Безусловные и условные законы распределения составляющих

Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих.

Аналогично находится плотность распределения составляющей :

Итак, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Пусть - непрерывная двумерная случайная величина.

Условной вероятностью распределения составляющих при данном значении называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей :

Аналогично определяется условная плотность составляющей при данном значении :

Если известна плотность совместного распределения , то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

Эти формулы можно записать в виде:

Аналогично определяется условная плотность составляющей при данном значении :

То есть умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Смежные темы решебника:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Найти плотность совместного распределения f(x,y) системы случайных величин (X,Y) по известной функции распределения:

Решение

По определению плотности совместно распределения:

Искомая плотность совместного распределения:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Найти функцию распределения системы случайных величин F(x,y) по известной плотности совместного распределения f(x,y):

Решение

Воспользуемся формулой:

В нашем случае:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольнике ABC. Определить функции плотности распределения компонент этой случайной величины f(x), f(y), их математические ожидания M(X), M(Y), дисперсии D(X), D(Y), коэффициент корреляции r_xy. Выяснить, являются ли случайные величины X и Y независимыми?

A(0;0),B(-1;1),C(1;1)

Решение

где – площадь треугольника

Разделим область на две равные части вдоль оси , тогда из условия:

или

Тогда плотность двумерной случайной величины :

Вычислим плотность составляющей :

при :

Откуда плотность составляющей :

Вычислим плотность составляющей :

при

Плотность составляющей :

Найдем условную плотность составляющей :

при

Следовательно, случайные величины и зависимы

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Найдем дисперсию случайной величины :

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Найдем дисперсию случайной величины :

Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины :

Тогда ковариация:

Значит коэффициент корреляции:

Следовательно, случайные величины и – зависимые, но некоррелированные

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 4

Скачать пример 4 в формате pdf

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность распределения:

Найти вероятность попадания значения (X,Y) в область x₁≤x≤x₂, y₁≤y≤y₂, вероятность попадания значения X в интервал x₁≤x≤x₂, математическое ожидание M[X] и условное математическое ожидание M[Y⁄X=x].

a=8, b=2, x₁=6, x₂=9, y₁=0, y₂=4

Решение

Найдем вероятность попадания в область по формуле:

При вычислении интеграла учитывается та часть области , где , т.е.

Плотность вероятности для составляющей имеет вид:

Если или , то и . При находим:

Таким образом, плотность имеет вид:

Тогда:

Условное математическое ожидание определяется с помощью условной плотности распределения составляющей

Получаем:

Искомое математическое ожидание:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Краткая теория
Примеры решения задач