Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов

Определение сходимости ряда. Сумма ряда


Числовой ряд

называется сходящимся, если его частичная сумма

имеет предел при . Величина

называется при этом суммой ряда, а число

остатком ряда.

Если предел

не существует, то ряд называется расходящимся.


Пример 1

Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.

Решение

Преобразуем выражение под знаком суммы:

Данный ряд - сумма геометрических прогрессий со знаменателями  и

ряд сходится

Признаки сходимости и расходимости числовых рядов


Необходимый признак сходимости и критерий Коши

Если ряд сходится, то

Обратное утверждение неверно

Критерий Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа  можно подобрать такое , чтобы при  и любом положительном  выполнялось неравенство

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.


Пример 2

Исследовать на сходимость ряд:

Решение

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

Необходимый признак сходимости не выполняется - ряд расходится.

Признак сравнения

Если , начиная с некоторого , и ряд

сходится, то ряд

также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).

В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:

которая сходится при  и расходится при , и гармонический ряд

являющийся рядом расходящимся.


Пример 3

Решение

Этот ряд сходится, так как

Причем геометрическая прогрессия

знаменатель которой , сходится

Предельный признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел

(в частности, если , то ряды

сходятся или расходятся одновременно.


Пример 4

Ряд

Решение

Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом

Таким образом ряды одновременно расходятся, так как найденный предел конечный и отличный от нуля.

Признак Даламбера

Пусть  (начиная с некоторого ) и существует предел

Тогда ряд

сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.


Пример 5

Решение

Воспользуемся признаком Даламбера

Ряд сходится

Признак Коши

Пусть  (начиная с некоторого ) и существует предел

Тогда ряд

сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.


Пример 6

Решение

Воспользуемся признаком Коши:

Ряд расходится

Интегральный признак Коши

Если , где функция  положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд

и интеграл

сходится или расходится одновременно.

С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле

сходится, если , и расходится, если . Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле.


Пример 7

Исследовать на сходимость числовой ряд:

Решение

Используем интегральный признак Коши.

Соответствующий интеграл:

расходится, следовательно, расходится исходный ряд