Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов
Определение сходимости ряда. Сумма ряда
Числовой ряд
называется сходящимся, если его частичная сумма
имеет предел при
. Величина
называется при этом суммой ряда, а число
остатком ряда.
Если предел
не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 1
Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.
Решение
Преобразуем выражение под знаком суммы:
Данный ряд - сумма
геометрических прогрессий со знаменателями
и
ряд сходится
Признаки сходимости и расходимости числовых рядов
Необходимый признак сходимости и критерий Коши
Если ряд сходится, то
Обратное утверждение неверно
Критерий Коши
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного числа
можно подобрать такое
,
чтобы при
и любом положительном
выполнялось неравенство
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.
Пример 2
Исследовать на сходимость ряд:
Решение
Воспользуемся необходимым признаком сходимости:
Необходимый признак сходимости не выполняется - ряд расходится.
Признак сравнения
Если
,
начиная с некоторого
,
и ряд
сходится, то ряд
также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:
которая сходится при
и расходится при
,
и гармонический ряд
являющийся рядом расходящимся.
Пример 3
Решение
Этот ряд сходится, так как
Причем геометрическая прогрессия
знаменатель которой
,
сходится
Предельный признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
(в частности, если
,
то ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 4
Ряд
Решение
Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом
Таким образом ряды одновременно расходятся, так как найденный предел конечный и отличный от нуля.
Признак Даламбера
Пусть
(начиная с некоторого
)
и существует предел
Тогда ряд
сходится, если
,
и расходится, если
.
Если
,
то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5
Решение
Воспользуемся признаком Даламбера
Ряд сходится
Признак Коши
Пусть
(начиная с некоторого
)
и существует предел
Тогда ряд
сходится, если
,
и расходится, если
.
Если
,
то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 6
Решение
Воспользуемся признаком Коши:
Ряд расходится
Интегральный признак Коши
Если
,
где функция
положительна, монотонно убывает и непрерывна
при
,
то ряд
и интеграл
сходится или расходится одновременно.
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
сходится, если
,
и расходится, если
.
Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с
соответствующим рядом Дирихле.
Пример 7
Исследовать на сходимость числовой ряд:
Решение
Используем интегральный признак Коши.
Соответствующий интеграл:
расходится, следовательно, расходится исходный ряд