Проверка гипотезы о нормальном распределении

Пример решения задачи

Задача

Выборка из генеральной совокупности случайной величины X задана интервальным вариационным рядом.

Требуется:

  • Построить полигон и гистограмму частостей (относительных частот) СВ .
  • По виду полигона и гистограммы и исходя из механизма образования СВ сделать предварительный выбор закона распределения.
  • Вычислить выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение.
  • Записать теоретическую функцию распределения и плотность распределения.
  • Найти теоретические частоты нормального закона распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона при уровне значимости

Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (в часах).

Стойкость сверла, 3 - 3.2 3.2 - 3.4 3.4 - 3.6 3.6 -3.8 3.8 -4
Частота, 16 50 70 44 20

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Построение гистограммы и полигона относительных частот

Построим гистограмму относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной , а высоты равны .  На том же графике строим полигон – ломанную, соединяющую точки

3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого
0.08 0.25 0.35 0.22 0.1 1

Полигон и гистограмма относительных частот

По виду полигона и гистограммы можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

Расчет среднего, дисперсии, исправленного среднего квадратического отклонения

Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу. В качестве величины х возьмем середины интервалов.

3.1 3.3 3.5 3.7 3.9 Итого
16 50 70 44 20 200
49.6 165 245 162.8 78 700.4
153.76 544.5 857.5 602.36 304.2 2462.32

Выборочная средняя:

Вычислим исправленную выборочную дисперсию.

Средняя квадратов:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

 

Плотность вероятности и функция распределения

Плотность вероятности случайной величины  ,  распределенной  по нормальному закону, имеет вид:

Теоретическая плотность вероятности:

 

Функция распределения для СВ , распределенной по нормальному закону, записывается следующим образом

 

Теоретическая функция распределения:

Вычисление теоретических частот

Вычислим теоретические частоты. Для этого пронормируем , то есть перейдем к случайной величине , которую можно вычислить по формуле:

Вероятность попадания в соответствующий интервал:

, где - функция Лапласа

Теоретические частоты нормального закона распределения:

, где  -объем выборки

Это расчет теоретических частот нормального распределения. На другой странице раздела есть похожая задача на вычисление теоретических частот и проверку гипотезы о распределении по закону Пуассона.

Составим расчетную таблицу:

Интервалы 3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого
-1.384 -0.468 0.449 1.366  
-1.384 -0.468 0.449 1.366  
-0.5 -0.417 -0.18 0.173 0.414  
-0.417 -0.18 0.173 0.414 0.5  
0.083 0.237 0.353 0.241 0.086 1
16.627 47.384 70.66 48.133 17.196 200

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Интервалы 3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого
16 50 70 44 20  200
16.627 47.384 70.66 48.133 17.196  
0.024 0.144 0.006 0.355 0.457 0.986

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения Пирсона (хи-квадрат):

Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по нормальному закону.