Интервальный вариационный ряд

Условие задачи

Выборка из генеральной совокупности случайной величины X задана интервальным вариационным рядом.

Требуется:

• Построить полигон и гистограмму частостей (относительных частот) СВ .
• По виду полигона и гистограммы и исходя из механизма образования СВ сделать предварительный выбор закона распределения.
• Вычислить выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение.
• Записать теоретическую функцию распределения и плотность распределения.
• Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности .
• Найти теоретические частоты нормального закона распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона при уровне значимости

Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (в часах).

Решение задачи

Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, то тогда за деньги на сайте можно выполнить вашу контрольную работу по теории вероятностей.

Построение гистограммы и полигона относительных частот

Построим гистограмму относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной , а высоты равны .  На том же графике строим полигон – ломанную, соединяющую точки

Полигон и гистограмма относительных частот:

По виду полигона и гистограммы можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

 

Расчет среднего, дисперсии, исправленного среднего квадратического отклонения

Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу. В качестве величины х возьмем середины интервалов.

Выборочная средняя:

Вычислим исправленную выборочную дисперсию.

Средняя квадратов:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

 

Плотность вероятности и функция распределения

Плотность вероятности случайной величины  ,  распределенной  по нормальному закону, имеет вид:

Теоретическая плотность вероятности:

 

Функция распределения для СВ , распределенной по нормальному закону, записывается следующим образом

 

Теоретическая функция распределения:

 

Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и неизвестного среднего квадратического отклонения

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания. Он считается по формуле:

, следовательно, 

 

Искомый доверительный интервал математического ожидания:

Найдем доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения. Он считается по формуле:

где  находим по таблице

, следовательно,

Искомый доверительный интервал для среднеквадратического отклонения:

 

Вычисление теоретических частот

Вычислим теоретические частоты. Для этого пронормируем , то есть перейдем к случайной величине , которую можно вычислить по формуле:

Вероятность попадания в соответствующий интервал:

, где - функция Лапласа

Теоретические частоты нормального закона распределения:

, где  -объем выборки

Составим расчетную таблицу:

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения Пирсона (хи-квадрат):

Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по нормальному закону.