Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Краткая теория


Проверка дискретного распределения на нормальность

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность  распределена нормально.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить выборочную среднюю  и выборочное среднее квадратическое отклонение .

2. Вычислить теоретические частоты

где  – объем выборки,  - шаг (разность между двумя соседними вариантами)

3.  Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое значение критерия

б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы  (  – число групп выборки) находят критическую точку  правосторонней критической области.

Если  – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Если  - гипотезу отвергают.

Проверка интервального распределения на нормальность

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов  и соответствующих им частот .

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность  распределена нормально.

Для того, чтобы при уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить выборочную среднюю  и выборочное среднее квадратическое отклонение , причем в качестве вариант  принимают среднее арифметическое концов интервала:

2. Пронормировать , то есть перейти к случайной величине

и вычислить концы интервалов:

причем наименьшее значение , то есть  полагают равным , а наибольшее, то есть  полагают равным .

3. Вычислить теоретические частоты:

где  – объем выборки

 – вероятности попадания  в интервалы

 – функция Лапласа.

4.  Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое значение критерия

б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы  (  – число групп выборки) находят критическую точку  правосторонней критической области.

Если  – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.  Если  - гипотезу отвергают.

Замечание.

Малочисленные частоты  следует объединить, в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле  следует в качестве  принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

 

Примеры решения задач


Пример 1

Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, проверить, согласуется ли гипотеза с нормальным распределением генеральной совокупности X с заданным эмпирическим распределением:

xi -4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
ni 1 4 21 30 63 59 34 18 5 2

 

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу.

-4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 Итого
1 4 21 30 63 59 34 18 5 2 237
-4.5 -14 -52.5 -45 -31.5 29.5 51 45 17.5 9 4.5
20.25 49 131.25 67.5 15.75 14.75 76.5 112.5 61.25 40.5 589.25

Выборочная средняя:

 

Средняя квадратов:

Выборочная дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

 

Вычислим теоретические частоты.

Вероятность попадания в соответствующий интервал:

Теоретические частоты:

где  -объем выборки

Составим расчетную таблицу:

-4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
-2.866 -2.232 -1.598 -0.963 -0.329 0.305 0.939 1.574 2.208 2.842
0.007 0.033 0.111 0.251 0.378 0.381 0.257 0.116 0.035 0.007
0.004 0.021 0.071 0.159 0.24 0.242 0.163 0.073 0.022 0.005
0.9 5.0 16.8 37.7 56.9 57.2 38.6 17.4 5.2 1.2

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона. Объединяем малочисленные частоты ( ).

-4.5;-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5  3.5;4.5 Итого
5 21 30 63 59 34 18 7  237
5.9 16.8 37.7 56.9 57.2 38.6 17.4 6.4  
0.137 1.050 1.573 0.654 0.057 0.548 0.021 0.056 4.096

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.


Пример 2

Из большой партии по схеме случайной повторной выборки было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия. Получены следующие результаты:

Процент влажности, xi

11-13

13-15

15-17

17-19

19-21

Число изделий, ni

8

42

51

37

12

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий χ2 - Пирсона.

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Составим расчетную таблицу

Интервалы Середина интервала,
11-13 12 8 96 1152
13-15 14 42 588 8232
15-17 16 51 816 13056
17-19 18 37 666 11988
19-21 20 12 240 4800
Итого -- 150 2406 39228

 

Средняя:

Средняя квадратов:

Дисперсия:

Исправленная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

Вычислим теоретические частоты.

Составим расчетную таблицу:

Вероятность попадания в соответствующий интервал:

, где - функция Лапласа

Теоретические частоты:

, где  -объем выборки

Составим расчетную таблицу:

Интервалы,
11-13   -1.47 -0.5 -0.4295 0.0705 10.57
13-15 -1.47 -0.50 -0.4295 -0.1927 0.2368 35.52
15-17 -0.50 0.46 -0.1927 0.1790 0.3717 55.76
17-19 0.46 1.43 0.1790 0.4241 0.2451 36.77
19-21 1.43 0.4241 0.5 0.0759 11.38
Итого         1 150

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Интервалы,
11-13 8 10.57 0.6249
13-15 42 35.52 1.1822
15-17 51 55.76 0.4063
17-19 37 36.77 0.0014
19-21 12 11.38 0.0338
Итого 150 150 2.2486

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Нет оснований отвергать гипотезу о распределении случайной величины по нормальному закону.

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Выборка X объемом n=100 задана таблицей:

0.8 1.1 1.4 1.7 2 2.3 2.6
5 13 25 25 19 10 3

1) Построить полигон относительных частот .

2) Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию  и среднее квадратическое отклонение .

3) Вычислить теоретические частоты . Построить график  на одном рисунке с полигоном.

4) С помощью критерия χ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0.05.


Задача 2

Построить нормальную кривую по опытным данным. Рассчитать теоретические (выравнивающие) частоты и сравнить с опытным распределением.

10.2 10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4 11.6 11.8 12.0
2 3 8 13 20 20 12 10 6 1

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 3

Выборка X объемом N=100 измерений задана таблицей:

0.6 1.5 2.4 3.3 4.2 5.1 6
5 13 26 24 19 10 3

а) Построить полигон относительных частот

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию  и среднее квадратическое отклонение ;

в) по критерию χ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0.05.


Задача 4

Для изучения количественного признака  из генеральной совокупности извлечена выборка  объема n, имеющая данное статистическое распределение.

а) Построить полигон частот по данному распределению выборки.

б) Найти выборочное среднее , выборочное среднее квадратическое отклонение  и исправленное среднее квадратическое отклонение .

в) При данном уровне значимости  проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

г) В случае принятия гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности найти доверительные интервалы для математического ожидания  и среднего квадратического отклонения σ при данном уровне надежности γ=1-α; α=0.05

4 8 12 16 20 24 28 32
5 9 15 19 20 16 10 6

Задача 5

Для выборки объема N=100, представленной вариационным рядом

-1 0 1 2 3 4 5
3 8 11 19 37 17 5

построить полигон относительных частот и гистограмму накопленных частот. Найти выборочное среднее  и выборочное среднее квадратичное отклонение . Определить доверительный интервал с доверительной вероятностью β=0,95 для оценки математического ожидания генеральной совокупности в предположении, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ равно исправленному выборочному среднему s. Проверить гипотезу о нормальности закона распределения генеральной совокупности, используя критерий Пирсона с уровнем значимости α=0,05.


Задача 6

Для случайной величины X составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона при α=0,05.

7 4 4 15 1 1 7 15 19 4
0 4 8 14 10 0 1 11 8 2
6 2 5 3 12 2 9 6 2 5
13 5 7 3 3 10 0 11 17 11
9 6 11 7 20 1 14 6 7 4

 


На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 7

Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:

Время, мин 1.5-2.5 2.5-3.5 3.5-4.5 4.5-5.5 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-9.5 9.5-10.5 Итого
Число разговоров 3 4 9 14 37 12 8 8 5 100

Используя χ2-критерий Пирсона при уровне значимости α=0.05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X - продолжительность телефонных разговоров - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую.


Задача 8

Распределение случайной величины X – заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) – задано в виде интервального ряда:

  300 320 340 360 380 400
  320 340 360 380 400 420
Частота 10 20 30 25 10 5

Найти: . Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия согласия Пирсона χ2 при α=0,05.


Задача 9

Записать для выборки интервальное распределение, построить гистограмму относительных частот. По критерию Пирсона проверить гипотезу нормальном распределении.

7.81 3.15 2.27 32.64 4.72 5.33 8.51 7.72 30.23 20.12
9.83 8.33 9.61 31.83 8.52 27.22 27.22 8.43 15.91 25.46
24.82 26.54 46.73 17.31 13.05 53.24 5.23 18.28 40.93 17.44
32.34 28.26 9.75 3.72 8.16 22.91 0.74 12.97 12.05 1.53
43.15 45.57 2.02 32.23 8.67 4.83 9.12 6.77 6.48 19.22
36.42 47.81 40.64 5.45 0.21 26.51 17.36 3.62 15.57 23.21
58.73 62.52 10.15 38.36 35.55 6.10 3.04 4.54 1.95 5.24
64.71 67.63 1.21 0.81 2.03 10.17 5.51 8.35 43.76 8.74
4.72 17.54 17.32 29.43 5.91 6.92 4.72 16.04 57.54 15.46
13.31 36.45 3.45 16.15 15.77 2.43 14.24 2.25 15.63 23.72

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 10

Результаты наблюдений над случайной величиной  оказались лежащими на отрезке  и были сгруппированы в 10 равновеликих интервалов. Значения  и частоты попадания в интервалы приведены в таблице. Построить: гистограмму частот, эмпирическую функцию распределения, найти медиану. Найти выборочное среднее  и исправленное среднеквадратическое отклонение . Указать 95-процентные доверительные интервалы для . С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном (с параметрами ) законе распределения (уровень значимости α=0.02 .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
140 500 3 6 25 40 57 42 12 11 2 2

 


Задача 11

В таблице приведены результаты измерения роста (см.) случайно отобранных 100 студентов:

Интервалы роста 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182
Число студентов, 10 14 26 28 12 8 2

С помощью критерия Пирсона при уровне значимости α=0.05 проверить правдоподобие гипотезы о нормальном распределении роста студентов.


Задача 12

При массовых стрельбах из пушек для одинаковых общих условий были зафиксированы продольные ошибки (м) попадания снарядов в цель:

(-40; -30) (-30; -20) (-20; -10) (-10;0) (0;10) (10;20) (20;30) (30;40) (40;50) (50;60)
4 5 11 24 39 31 28 9 5 4

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) L, используя критерий χ2- Пирсона.