Условие задачи
Выборка из генеральной совокупности случайной величины X задана интервальным вариационным рядом.
Требуется:
- Построить полигон и гистограмму частостей
(относительных частот) СВ
.
- По виду полигона и гистограммы и исходя из
механизма образования СВ сделать предварительный выбор закона распределения.
- Вычислить выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение.
- Записать теоретическую функцию распределения и плотность
распределения.
- Найти теоретические частоты нормального закона
распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помощью
критерия Пирсона при уровне значимости
Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных
сверл диаметра 4 мм (в часах).
Стойкость сверла,
|
3 - 3.2
|
3.2 - 3.4
|
3.4 - 3.6
|
3.6 -3.8
|
3.8 -4
|
Частота,
|
16
|
50
|
70
|
44
|
20
|
Решение задачи
Построение гистограммы и полигона относительных частот
Построим гистограмму
относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников,
основаниями которых служат интервалы длиной
,
а высоты равны
. На том же графике строим полигон – ломанную,
соединяющую точки
|
|
3-3.2
|
3.2-3.4
|
3.4-3.6
|
3.6-3.8
|
3.8-4
|
Итого
|
|
0.08
|
0.25
|
0.35
|
0.22
|
0.1
|
1
|
Полигон и гистограмма относительных частот:
По виду полигона и гистограммы можно
предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.
Расчет среднего, дисперсии, исправленного среднего квадратического отклонения
Вычислим характеристики
распределения. Для этого составим расчетную таблицу. В качестве величины х
возьмем середины интервалов.
|
|
3.1
|
3.3
|
3.5
|
3.7
|
3.9
|
Итого
|
|
|
16
|
50
|
70
|
44
|
20
|
200
|
|
49.6
|
165
|
245
|
162.8
|
78
|
700.4
|
|
153.76
|
544.5
|
857.5
|
602.36
|
304.2
|
2462.32
|
Выборочная средняя:
Вычислим исправленную выборочную дисперсию.
Средняя квадратов:
Исправленная выборочная дисперсия:
Исправленное среднее квадратическое
отклонение:
Плотность вероятности и функция распределения
Плотность вероятности случайной величины
,
распределенной по нормальному
закону, имеет вид:
Теоретическая плотность
вероятности:
Функция распределения для СВ
,
распределенной по нормальному закону, записывается следующим образом
Теоретическая функция
распределения:
Вычисление теоретических частот
Вычислим теоретические
частоты. Для этого пронормируем
, то есть перейдем к случайной величине
, которую можно вычислить по формуле:
Вероятность попадания в
соответствующий интервал:
, где
- функция Лапласа
Теоретические частоты нормального закона распределения:
, где
-объем выборки
Это расчет теоретических частот нормального распределения. На другой странице раздела есть похожая задача на
вычисление теоретических частот и проверку гипотезы о распределении по закону Пуассона.
Составим расчетную таблицу:
|
Интервалы
|
3-3.2
|
3.2-3.4
|
3.4-3.6
|
3.6-3.8
|
3.8-4
|
Итого
|
|
|
-1.384
|
-0.468
|
0.449
|
1.366
|
|
|
-1.384
|
-0.468
|
0.449
|
1.366
|
|
|
|
-0.5
|
-0.417
|
-0.18
|
0.173
|
0.414
|
|
|
-0.417
|
-0.18
|
0.173
|
0.414
|
0.5
|
|
|
0.083
|
0.237
|
0.353
|
0.241
|
0.086
|
1
|
|
16.627
|
47.384
|
70.66
|
48.133
|
17.196
|
200
|
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона
Проверим степень согласия
эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:
|
Интервалы
|
3-3.2
|
3.2-3.4
|
3.4-3.6
|
3.6-3.8
|
3.8-4
|
Итого
|
|
|
16
|
50
|
70
|
44
|
20
|
200
|
|
|
16.627
|
47.384
|
70.66
|
48.133
|
17.196
|
|
|
0.024
|
0.144
|
0.006
|
0.355
|
0.457
|
0.986
|
Из расчетной таблицы
Уровень значимости
Число степеней свободы
По таблице критических точек распределения Пирсона (хи-квадрат):
Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по нормальному закону.
К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике ⟩