Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
Краткая теория
Проверка дискретного распределения на нормальность
Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить
гипотезу о том, что генеральная совокупность
распределена нормально.
Для того,
чтобы при заданном уровне значимости
проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности, надо:
1. Вычислить
выборочную среднюю
и выборочное среднее квадратическое отклонение
.
2. Вычислить теоретические частоты
где
– объем выборки,
- шаг (разность между двумя соседними
вариантами)
3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:
а) составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое значение критерия
б) по
таблице критических точек распределения
, по заданному уровню
значимости
и числу степеней свободы
(
– число групп выборки) находят критическую
точку
правосторонней критической области.
Если
– нет оснований отвергнуть гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности. Если
- гипотезу отвергают.
Проверка интервального распределения на нормальность
Пусть
эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов
и соответствующих им частот
.
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Требуется,
используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная
совокупность
распределена нормально.
Для того,
чтобы при уровне значимости
проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности, надо:
1.
Вычислить выборочную среднюю
и выборочное среднее квадратическое отклонение
, причем в качестве вариант
принимают среднее арифметическое концов
интервала:
2.
Пронормировать
, то есть перейти к
случайной величине
и вычислить концы интервалов:
причем
наименьшее значение
, то есть
полагают равным
, а наибольшее, то есть
полагают равным
.
3. Вычислить теоретические частоты:
где
– объем выборки
– вероятности попадания
в интервалы
– функция Лапласа.
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:
а) составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое значение критерия
б) по
таблице критических точек распределения
, по заданному уровню
значимости
и числу степеней свободы
(
– число групп выборки) находят критическую
точку
правосторонней критической области.
Если
– нет оснований отвергнуть гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности. Если
- гипотезу отвергают.
Замечание.
Малочисленные частоты
следует объединить, в этом случае и
соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось
объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле
следует в качестве
принять число групп выборки, оставшихся после
объединения частот.
Примеры решения задач
Пример 1
Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, проверить, согласуется ли гипотеза с нормальным распределением генеральной совокупности X с заданным эмпирическим распределением:
| xi | -4.5 | -3.5 | -2.5 | -1.5 | -0.5 | 0.5 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 4.5 |
| ni | 1 | 4 | 21 | 30 | 63 | 59 | 34 | 18 | 5 | 2 |
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу.
|
|
-4.5 | -3.5 | -2.5 | -1.5 | -0.5 | 0.5 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 4.5 | Итого |
|
|
1 | 4 | 21 | 30 | 63 | 59 | 34 | 18 | 5 | 2 | 237 |
|
-4.5 | -14 | -52.5 | -45 | -31.5 | 29.5 | 51 | 45 | 17.5 | 9 | 4.5 |
|
20.25 | 49 | 131.25 | 67.5 | 15.75 | 14.75 | 76.5 | 112.5 | 61.25 | 40.5 | 589.25 |
Выборочная средняя:
Средняя квадратов:
Выборочная дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Вычислим теоретические частоты.
Вероятность попадания в соответствующий интервал:
Теоретические частоты:
где
-объем выборки
Составим расчетную таблицу:
|
|
-4.5 | -3.5 | -2.5 | -1.5 | -0.5 | 0.5 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 4.5 |
|
-2.866 | -2.232 | -1.598 | -0.963 | -0.329 | 0.305 | 0.939 | 1.574 | 2.208 | 2.842 |
|
0.007 | 0.033 | 0.111 | 0.251 | 0.378 | 0.381 | 0.257 | 0.116 | 0.035 | 0.007 |
|
0.004 | 0.021 | 0.071 | 0.159 | 0.24 | 0.242 | 0.163 | 0.073 | 0.022 | 0.005 |
|
0.9 | 5.0 | 16.8 | 37.7 | 56.9 | 57.2 | 38.6 | 17.4 | 5.2 | 1.2 |
Проверим
степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию
Пирсона. Объединяем малочисленные частоты (
).
|
|
-4.5;-3.5 | -2.5 | -1.5 | -0.5 | 0.5 | 1.5 | 2.5 | 3.5;4.5 | Итого |
|
|
5 | 21 | 30 | 63 | 59 | 34 | 18 | 7 | 237 |
|
|
5.9 | 16.8 | 37.7 | 56.9 | 57.2 | 38.6 | 17.4 | 6.4 | |
|
0.137 | 1.050 | 1.573 | 0.654 | 0.057 | 0.548 | 0.021 | 0.056 | 4.096 |
Из
расчетной таблицы
Уровень
значимости
Число
степеней свободы
По
таблице критических точек распределения:
Нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Пример 2
Из большой партии по схеме случайной повторной выборки было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия. Получены следующие результаты:
|
Процент влажности, xi |
11-13 |
13-15 |
15-17 |
17-19 |
19-21 |
|
Число изделий, ni |
8 |
42 |
51 |
37 |
12 |
На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий χ2 - Пирсона.
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Составим расчетную таблицу
| Интервалы |
Середина
интервала,
|
|
|
|
| 11-13 | 12 | 8 | 96 | 1152 |
| 13-15 | 14 | 42 | 588 | 8232 |
| 15-17 | 16 | 51 | 816 | 13056 |
| 17-19 | 18 | 37 | 666 | 11988 |
| 19-21 | 20 | 12 | 240 | 4800 |
| Итого | -- | 150 | 2406 | 39228 |
Средняя:
Средняя квадратов:
Дисперсия:
Исправленная дисперсия:
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
Вычислим теоретические частоты.
Составим расчетную таблицу:
Вероятность попадания в соответствующий интервал:
, где
- функция Лапласа
Теоретические частоты:
, где
-объем выборки
Составим расчетную таблицу:
|
Интервалы,
|
|
|
|
|
|
|
| 11-13 |
|
-1.47 | -0.5 | -0.4295 | 0.0705 | 10.57 |
| 13-15 | -1.47 | -0.50 | -0.4295 | -0.1927 | 0.2368 | 35.52 |
| 15-17 | -0.50 | 0.46 | -0.1927 | 0.1790 | 0.3717 | 55.76 |
| 17-19 | 0.46 | 1.43 | 0.1790 | 0.4241 | 0.2451 | 36.77 |
| 19-21 | 1.43 |
|
0.4241 | 0.5 | 0.0759 | 11.38 |
| Итого | 1 | 150 |
Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:
|
Интервалы,
|
|
|
|
| 11-13 | 8 | 10.57 | 0.6249 |
| 13-15 | 42 | 35.52 | 1.1822 |
| 15-17 | 51 | 55.76 | 0.4063 |
| 17-19 | 37 | 36.77 | 0.0014 |
| 19-21 | 12 | 11.38 | 0.0338 |
| Итого | 150 | 150 | 2.2486 |
Из расчетной таблицы
Уровень значимости
Число степеней свободы
По таблице критических точек
распределения:
Нет оснований отвергать гипотезу о распределении случайной величины по нормальному закону.
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Выборка X объемом n=100 задана таблицей:
|
|
0.8 | 1.1 | 1.4 | 1.7 | 2 | 2.3 | 2.6 |
|
|
5 | 13 | 25 | 25 | 19 | 10 | 3 |
1) Построить
полигон относительных частот
.
2) Вычислить
среднее выборочное
, выборочную дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
.
3) Вычислить
теоретические частоты
. Построить график
на одном рисунке с полигоном.
4) С помощью критерия χ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0.05.
Задача 2
Построить нормальную кривую по опытным данным. Рассчитать теоретические (выравнивающие) частоты и сравнить с опытным распределением.
|
|
10.2 | 10.4 | 10.6 | 10.8 | 11.0 | 11.2 | 11.4 | 11.6 | 11.8 | 12.0 |
|
|
2 | 3 | 8 | 13 | 20 | 20 | 12 | 10 | 6 | 1 |
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Задача 3
Выборка X объемом N=100 измерений задана таблицей:
|
|
0.6 | 1.5 | 2.4 | 3.3 | 4.2 | 5.1 | 6 |
|
5 | 13 | 26 | 24 | 19 | 10 | 3 |
а)
Построить полигон относительных частот
б)
вычислить среднее выборочное
, выборочную дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
;
в) по критерию χ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0.05.
Задача 4
Для
изучения количественного признака
из генеральной совокупности извлечена выборка
объема n, имеющая данное
статистическое распределение.
а) Построить полигон частот по данному распределению выборки.
б) Найти
выборочное среднее
, выборочное среднее
квадратическое отклонение
и исправленное среднее квадратическое
отклонение
.
в) При
данном уровне значимости
проверить по критерию Пирсона гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности.
г) В
случае принятия гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
найти доверительные интервалы для математического ожидания
и среднего квадратического отклонения σ при
данном уровне надежности γ=1-α; α=0.05
|
|
4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 |
|
|
5 | 9 | 15 | 19 | 20 | 16 | 10 | 6 |
Задача 5
Для выборки объема N=100, представленной вариационным рядом
|
|
-1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
3 | 8 | 11 | 19 | 37 | 17 | 5 |
построить
полигон относительных частот и гистограмму накопленных частот. Найти выборочное
среднее
и выборочное среднее квадратичное отклонение
. Определить доверительный интервал с
доверительной вероятностью β=0,95 для оценки математического ожидания
генеральной совокупности в предположении, что среднее квадратическое отклонение
генеральной совокупности σ равно исправленному выборочному среднему s. Проверить
гипотезу о нормальности закона распределения генеральной совокупности,
используя критерий Пирсона с уровнем значимости α=0,05.
Задача 6
Для случайной величины X составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона при α=0,05.
| 7 | 4 | 4 | 15 | 1 | 1 | 7 | 15 | 19 | 4 |
| 0 | 4 | 8 | 14 | 10 | 0 | 1 | 11 | 8 | 2 |
| 6 | 2 | 5 | 3 | 12 | 2 | 9 | 6 | 2 | 5 |
| 13 | 5 | 7 | 3 | 3 | 10 | 0 | 11 | 17 | 11 |
| 9 | 6 | 11 | 7 | 20 | 1 | 14 | 6 | 7 | 4 |
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Задача 7
Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:
| Время, мин | 1.5-2.5 | 2.5-3.5 | 3.5-4.5 | 4.5-5.5 | 5.5-6.5 | 6.5-7.5 | 7.5-8.5 | 8.5-9.5 | 9.5-10.5 | Итого |
| Число разговоров | 3 | 4 | 9 | 14 | 37 | 12 | 8 | 8 | 5 | 100 |
Используя χ2-критерий Пирсона при уровне значимости α=0.05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X - продолжительность телефонных разговоров - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую.
Задача 8
Распределение случайной величины X – заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) – задано в виде интервального ряда:
|
300 | 320 | 340 | 360 | 380 | 400 |
|
320 | 340 | 360 | 380 | 400 | 420 |
Частота
|
10 | 20 | 30 | 25 | 10 | 5 |
Найти:
. Построить теоретическое
нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия
согласия Пирсона χ2 при α=0,05.
Задача 9
Записать для выборки интервальное распределение, построить гистограмму относительных частот. По критерию Пирсона проверить гипотезу нормальном распределении.
| 7.81 | 3.15 | 2.27 | 32.64 | 4.72 | 5.33 | 8.51 | 7.72 | 30.23 | 20.12 |
| 9.83 | 8.33 | 9.61 | 31.83 | 8.52 | 27.22 | 27.22 | 8.43 | 15.91 | 25.46 |
| 24.82 | 26.54 | 46.73 | 17.31 | 13.05 | 53.24 | 5.23 | 18.28 | 40.93 | 17.44 |
| 32.34 | 28.26 | 9.75 | 3.72 | 8.16 | 22.91 | 0.74 | 12.97 | 12.05 | 1.53 |
| 43.15 | 45.57 | 2.02 | 32.23 | 8.67 | 4.83 | 9.12 | 6.77 | 6.48 | 19.22 |
| 36.42 | 47.81 | 40.64 | 5.45 | 0.21 | 26.51 | 17.36 | 3.62 | 15.57 | 23.21 |
| 58.73 | 62.52 | 10.15 | 38.36 | 35.55 | 6.10 | 3.04 | 4.54 | 1.95 | 5.24 |
| 64.71 | 67.63 | 1.21 | 0.81 | 2.03 | 10.17 | 5.51 | 8.35 | 43.76 | 8.74 |
| 4.72 | 17.54 | 17.32 | 29.43 | 5.91 | 6.92 | 4.72 | 16.04 | 57.54 | 15.46 |
| 13.31 | 36.45 | 3.45 | 16.15 | 15.77 | 2.43 | 14.24 | 2.25 | 15.63 | 23.72 |
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Задача 10
Результаты наблюдений над случайной
величиной
оказались
лежащими на отрезке
и были
сгруппированы в 10 равновеликих интервалов. Значения
и частоты
попадания в интервалы приведены в таблице. Построить: гистограмму частот,
эмпирическую функцию распределения, найти медиану. Найти выборочное среднее
и исправленное
среднеквадратическое отклонение
. Указать 95-процентные доверительные интервалы для
. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о
нормальном (с параметрами
) законе распределения (уровень значимости α=0.02
.
|
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 140 | 500 | 3 | 6 | 25 | 40 | 57 | 42 | 12 | 11 | 2 | 2 |
Задача 11
В таблице приведены результаты измерения роста (см.) случайно отобранных 100 студентов:
| Интервалы роста | 154-158 | 158-162 | 162-166 | 166-170 | 170-174 | 174-178 | 178-182 |
|
Число
студентов,
|
10 | 14 | 26 | 28 | 12 | 8 | 2 |
С помощью критерия Пирсона при уровне значимости α=0.05 проверить правдоподобие гипотезы о нормальном распределении роста студентов.
Задача 12
При массовых стрельбах из пушек для одинаковых общих условий были зафиксированы продольные ошибки (м) попадания снарядов в цель:
|
(-40; -30) | (-30; -20) | (-20; -10) | (-10;0) | (0;10) | (10;20) | (20;30) | (30;40) | (40;50) | (50;60) |
|
|
4 | 5 | 11 | 24 | 39 | 31 | 28 | 9 | 5 | 4 |
На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) L, используя критерий χ2- Пирсона.