Градиент функции и производная по направлению вектора

Краткая теория

Градиентом называется вектор, направление которого указывает направление максимально быстрого возрастания функции f(x). Нахождение этой векторной величины связано с определением частных производных функции. Производная по направлению это скалярная величина и показывает скорость изменения функции при движении вдоль направления, заданного некоторым вектором.

Пример решения задачи

Условие задачи

Даны функция , точка  и вектор . Найти:

  • Градиент функции  в точке ;
  • Производную в точке  по направлению вектора .

Решение задачи

Нахождение градиента функции

1) Найдем градиент функции в точке :

Искомый градиент:

 

Нахождение производной по направлению вектора

2) Найдем производную в направлении вектора :

где  -угол, образованный вектором и осью

Искомая производная в точке :

К оглавлению решебника по высшей математике