К оглавлению решебника

Градиент функции и производная по направлению вектора

Краткая теория

Градиент функции

Рассмотрим полный дифференциал функции :

Правую часть равенства можно рассматривать как скалярное произведение векторов

и

второй из которых является дифференциалом радиус-вектора произвольной точки функции :

где , , - координатные орты, а первый зависит лишь от координат точки функции и не зависит от координат дифференциалов. Этот множитель называется градиентом функции в данной точке и обозначается:

Следовательно, полный дифференциал функции :

Градиентом функции называется вектор, зависящий только от координат произвольной точки, если скалярное произведение этого вектора на дифференциал радиус-вектора точки является полным дифференциалом функции.

Таким образом, градиент функции есть вектор, координаты которого равны частным производным этой функции.

Для градиента функции справедливы следующие свойства:


есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции и в данной точке имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. В этом состоит физический смысл градиента.

В функции двух переменных градиент определяется равенством:

Производная по направлению

Производной функции в точке по направлению называется предел (если он существует) отношения приращения функции при смещении точки в направлении вектора к величине этого смещения , когда последнее стремится к нулю. Она обозначается символом

Пусть , , - координаты фиксированной точки , а , , - направляющие косинусы вектора .

Тогда производную по направлению удобно вычислять, пользуясь следующей формулой:

Производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению . Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной - характер изменения функции (возрастание или убывание). В этом состоит физический смысл производной по направлению.

Смежные темы решебника:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Даны функция , точка  и вектор . Найти:

  • Градиент функции  в точке ;
  • Производную в точке  по направлению вектора .

Решение

1) Найдем градиент функции в точке :

Искомый градиент:

 

2) Найдем производную в направлении вектора :

где  -угол, образованный вектором и осью

Искомая производная в точке :

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Дана функция , и даны точки и . Найдите и производную этой функции по направлению в точке .

Решение

Найдем частные производные:

;

;

;

Градиент функции можно найти по формуле:

Получаем:

Найдем производную в направлении вектора :

Координаты вектора:

Направляющие косинусы:

Искомая производная:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Найти градиент, уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке .

Решение

Обозначим:

Тогда:

Значения частных производных в точке:

Градиент:

Величина градиента:

Уравнение касательной плоскости, имеющей нормальный вектор и проходящей через запишется:

или

Нормальная прямая имеет направляющий вектор и проходит через , поэтому ее уравнение:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

К оглавлению решебника