Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение WhatsApp, ВКонтакте или Viber. Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников.
Опыт работы более 20 лет.
Оплата на карту Сбербанка (другие распространенные способы оплаты по договоренности).
Стоимость решения домашней работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ). Подробное оформление с выводами. Стоимость помощи на экзамене онлайн (в этом случае необходима 100% предоплата) - от 1000 р. за решение билета.

Автокорреляционная функция и аддитивная модель временного ряда

Краткая теория

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в  моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты ( ) и циклической (сезонной) компоненты ( ).

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой , сезонной  и случайной  компонент. Общий вид мультипликативный модели выглядит так:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой , сезонной  и случайной  компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений  и  для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты .

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных  в аддитивной или  в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней  или  и расчет значений  с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений  или .

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок  для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Пример решения задачи

Условие задачи

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии  жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Так как сайт 100task.ru c бесплатными решениями все таки коммерческий, то читателю этой страницы необходимо напомнить, что здесь можно купить качественно сделанную контрольную по эконометрике. :)

1 5.5 9 8.2
2 4.8 10 5.5
3 5.1 11 6.5
4 9.0 12 11.0
5 7.1 13 8.9
6 4.9 14 6.5
7 6.1 15 7.3
8 10.0 16 11.2

Решение задачи

1) Построим поле корреляции:

 

Уже исходя из графика видно, что значения  образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу:

1 5.5 --- --- --- --- --- ---
2 4.8 5.5 -2.673 -1.593 4.260 7.147 2.539
3 5.1 4.8 -2.373 -2.293 5.443 5.633 5.259
4 9 5.1 1.527 -1.993 -3.043 2.331 3.973
5 7.1 9 -0.373 1.907 -0.712 0.139 3.635
6 4.9 7.1 -2.573 0.007 -0.017 6.622 0.000
7 6.1 4.9 -1.373 -2.193 3.012 1.886 4.811
8 10 6.1 2.527 -0.993 -2.510 6.384 0.987
9 8.2 10 0.727 2.907 2.112 0.528 8.449
10 5.5 8.2 -1.973 1.107 -2.184 3.894 1.225
11 6.5 5.5 -0.973 -1.593 1.551 0.947 2.539
12 11 6.5 3.527 -0.593 -2.092 12.437 0.352
13 8.9 11 1.427 3.907 5.574 2.035 15.262
14 6.5 8.9 -0.973 1.807 -1.758 0.947 3.264
15 7.3 6.5 -0.173 -0.593 0.103 0.030 0.352
16 11.2 7.3 3.727 0.207 0.770 13.888 0.043
Сумма 112.1 106.4 0 0 10.507 64.849 52.689
Среднее значение 7.473 7.093          

 

Следует заметить. что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, так как у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Коэффициент автокорреляции первого порядка:

 

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка:

1 5.5 --- --- --- --- --- ---
2 4.8 --- --- --- --- --- ---
3 5.1 5.5 -2.564 -1.579 4.048 6.576 2.492
4 9 4.8 1.336 -2.279 -3.044 1.784 5.192
5 7.1 5.1 -0.564 -1.979 1.116 0.318 3.915
6 4.9 9 -2.764 1.921 -5.311 7.641 3.692
7 6.1 7.1 -1.564 0.021 -0.034 2.447 0.000
8 10 4.9 2.336 -2.179 -5.089 5.456 4.746
9 8.2 6.1 0.536 -0.979 -0.524 0.287 0.958
10 5.5 10 -2.164 2.921 -6.323 4.684 8.535
11 6.5 8.2 -1.164 1.121 -1.306 1.356 1.258
12 11 5.5 3.336 -1.579 -5.266 11.127 2.492
13 8.9 6.5 1.236 -0.579 -0.715 1.527 0.335
14 6.5 11 -1.164 3.921 -4.566 1.356 15.378
15 7.3 8.9 -0.364 1.821 -0.664 0.133 3.318
16 11.2 6.5 3.536 -0.579 -2.046 12.501 0.335
Сумма 107.3 99.1 0 0 -29.721 57.192 52.644
Среднее значение 7.664 7.079          

Следовательно:

 

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу:

Лаг Коэффициент автокорреляции уровней
1 0.180
2 -0.542
3 0.129
4 0.980
5 0.987
6 -0.686
7 0.019
8 0.958
9 0.117
10 -0.707
11 -0.086
12 0.937

 

Коррелограмма:

 

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать выводы о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

 

2)  Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.

Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированая скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
1 5.5 -- -- -- --
2 4.8 24.4 6.1 -- --
3 5.1 26 6.5 6.300 -1.200
4 9 26.1 6.525 6.513 2.488
5 7.1 27.1 6.775 6.650 0.450
6 4.9 28.1 7.025 6.900 -2.000
7 6.1 29.2 7.3 7.163 -1.063
8 10 29.8 7.45 7.375 2.625
9 8.2 30.2 7.55 7.500 0.700
10 5.5 31.2 7.8 7.675 -2.175
11 6.5 31.9 7.975 7.888 -1.388
12 11 32.9 8.225 8.100 2.900
13 8.9 33.7 8.425 8.325 0.575
14 6.5 33.9 8.475 8.450 -1.950
15 7.3 --- --- --- ---
16 11.2 --- --- --- ---

 

Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими среднеми. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты :

Показатели Год № квартала,
I II III IV
  1 --- --- -1.2 2.488
2 0.45 -2 -1.063 2.625
3 0.7 -2.175 -1.388 2.9
4 0.575 -1.95 --- ---
Всего за i-й квартал   1.725 -6.125 -3.651 8.013
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,   0.575 -2.042 -1.217 2.671
Скорректированная сезонная компонента,   0.578 -2.039 -1.213 2.674

 

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должны быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

Корректирующий коэффициент:

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты  и заносим полученные данные в таблицу.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

 

Исключим  влияние сезонной компоненты, вычитая ее значения из кажждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

1 5.5 0.578 4.922 5.853 6.431 -0.931 0.867 3.423
2 4.8 -2.039 6.839 6.053 4.014 0.786 0.618 6.503
3 5.1 -1.213 6.313 6.253 5.040 0.060 0.004 5.063
4 9 2.674 6.326 6.453 9.127 -0.127 0.016 2.723
5 7.1 0.578 6.522 6.653 7.231 -0.131 0.017 0.063
6 4.9 -2.039 6.939 6.853 4.814 0.086 0.007 6.003
7 6.1 -1.213 7.313 7.053 5.840 0.260 0.068 1.563
8 10 2.674 7.326 7.253 9.927 0.073 0.005 7.023
9 8.2 0.578 7.622 7.453 8.031 0.169 0.029 0.722
10 5.5 -2.039 7.539 7.653 5.614 -0.114 0.013 3.423
11 6.5 -1.213 7.713 7.853 6.640 -0.140 0.020 0.723
12 11 2.674 8.326 8.053 10.727 0.273 0.075 13.323
13 8.9 0.578 8.322 8.253 8.831 0.069 0.005 2.403
14 6.5 -2.039 8.539 8.453 6.414 0.086 0.007 0.723
15 7.3 -1.213 8.513 8.653 7.440 -0.140 0.020 0.003
16 11.2 2.674 8.526 8.853 11.527 -0.327 0.107 14.823
Итого             1.876 68.500

 

Определим компоненту  данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда  с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни  для каждого момента времени

Найлем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням  значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

 

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок:

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 99.3% общей вариации уровней временного ряда.

 

3) Прогнозное значение  уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

Получим:

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

Таким образом:

Сохранить ссылку на страницу в социальной сети: