Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Проверка гипотезы о равенстве средних.

Краткая теория

Дисперсии выборок известны

Пусть генеральные совокупности  и   распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны  и , извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние  и .  Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е.

Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних, т. е.  и , нулевую гипотезу можно записать так:

Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.

1) Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу  о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу

Если  – нулевую гипотезу отвергают

 

2) Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу  о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу

Если  – нулевую гипотезу отвергают

 

3)  При конкурирующей гипотезе  надо вычислить  и сначала по таблице функции Лапласа найти «вспомогательную точку»  по равенству  , а затем положить

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу

Если  – нулевую гипотезу отвергают

Дисперсии выборок неизвестны

Обозначим через  и  объемы малых независимых выборок , по которых найдены соответствующие выборочные средние  и  и исправленные выборочные дисперсии  и . Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.

 

1) Для того чтобы при заданном уровне значимости  промерить нулевую гипотезу  о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы  найти критическую точку .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

 Если  – нулевую гипотезу отвергают

 

2) При конкурирующей гипотезе  находят критическую точку  по уровню значимости  и числу степеней свободы .

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

 Если  – нулевую гипотезу отвергают

 

3) При конкурирующей гипотезе  находят сначала критическую точку , как во втором пункте, а затем полагают

Если  – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если  – нулевую гипотезу отвергают

Примеры решения задачи

Пример 1.

По двум независимым выборкам объема  и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, проверить гипотезу о равенстве средних при уровне значимости , если

Если перед сессией вам объективно не до выполнения заданий по теории вероятностей, то существует возможность заказать контрольную работу на сайте 100task.ru. Подробнее по ссылке Выполнить контрольную работу по теории вероятностей...

Имеем гипотезу

При конкурирующий гипотезе :

Наблюдаемое значение критерия:

По таблице функции Лапласа находим критическую точку  из равенства:

  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример 2.

Измерения пульса 10 больных, проведенные после некоторой процедуры, и 12 больных контрольной группы дали следующие результаты: для первой группы , , оценки дисперсий равны . При уровне значимости  проверить гипотезу о равенстве средних значений пульса больных, принявших процедуру, и больных, ее не принимавших.

Имеем гипотезу

При конкурирующий гипотезе :

Наблюдаемое значение критерия:

Число степеней свободы: 

По таблице критических точек распределения Стьюдента:

 -нулевую гипотезу принимаем

Другими словами, с вероятностью  средние значения пульса больных равны.