Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

Краткая теория

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии

Пусть , причем  и  неизвестны.  Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью  истинное значение параметра .

Для этого из генеральной совокупности СВ  извлекается выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки математического ожидания  используется выборочное среднее , а в качестве оценки дисперсии  – исправленная выборочная дисперсия

которой соответствует стандартное отклонение .

2) Для нахождения доверительного интервала строится статистика

имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы  независимо от значений параметров  и .

3) Задается требуемый уровень значимости .

4) Применяется следующая формула расчета вероятности:

где  – критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по соответствующей таблице (односторонняя критическая область).

Тогда:

Это означает, что интервал:

накрывает неизвестный параметр  с надежностью

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии

Пусть количественный признак  генеральной совокупности имеет нормальное распределение  с заданной дисперсией  и неизвестным математическим ожиданием .  Построим доверительный интервал для .

1) Пусть для оценки  извлечена выборка  объема . Тогда

2) Составим случайную величину:

Нетрудно показать, что случайная величина имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть:

3) Зададим уровень значимости .

4) Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

Это означает, что доверительный интервал

накрывает неизвестный параметр  с надежностью . Точность оценки определяется величиной:

Число  определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства

Окончательно получаем:

Доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонения нормальной случайной величины

Пусть , причем  и  – неизвестны. Пусть для оценки  извлечена выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки дисперсии  используется исправленная выборочная дисперсия:

которой соответствует стандартное отклонение .

2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика

имеющая  – распределение с числом степеней свободы  независимо от значения параметра .

3) Задается требуемый уровень значимости .

4) Тогда, используя таблицу критических точек  –распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:

Подставив вместо  соответствующее значение, получим:

Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:

Положив:

Получим следующий доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:

Для отыскания  по заданным  и  пользуются специальными таблицами.

Пример решения задачи

Условие задачи

Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.

Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии с надежностью  

Указание: воспользоваться таблицами Стьюдента и хи-квадрат.

Чтобы решение задачи по теории вероятностей было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по теории вероятностей...

Решение задачи

Вычисление средней и дисперсии

Вычислим среднее и исправленную дисперсию:

Нахождение доверительных интервалов для средней и дисперсии

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного среднего. Он считается по формуле:

По таблице распределения Стьюдента, для уровня значимости  (односторонняя критическая область):

 Искомый доверительный интервал для среднего:

 

Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии. Он считается по формуле:

Для уровня значимости  и  получаем по таблице значений хи-квадрат:

Искомый доверительный интервал для дисперсии:

Ответ