Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона
Краткая теория
Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины
.
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности
по закону Пуассона.
Для того, чтобы
при уровне значимости
проверить гипотезу о том, что случайная
величина
распределена по закону Пуассона, необходимо:
.
распределения Пуассона выборочную среднюю
.
появления ровно i событий в
испытаниях (
,
где
–максимальное число
наблюдавшихся событий,
– объем выборки).
.
а) составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое значение критерия
б) по
таблице критических точек распределения
, по заданному уровню
значимости
и числу степеней свободы
(
– число групп выборки) находят критическую
точку
правосторонней критической области.
Если
– нет оснований отвергнуть гипотезу о
распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. Если
- гипотезу отвергают.
Замечание.
Малочисленные частоты
следует объединить, в этом случае и
соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось
объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле
следует в качестве
принять число групп выборки, оставшихся после
объединения частот.
Примеры решения задач
Пример 1
Имеются данные по числу несчастных случаев, происходящих за один день:
0 - 280 дней, 1 - 75 дней, 2 - 12 дней, 3 - 1 день.
Проверить согласуются ли полученные данные с пуассоновским распределением. Указание: найти оценку для параметра распределения Пуассона, имеющего смысл среднего числа несчастных случаев за один день, вычислить ожидаемые частоты и применить критерий Пирсона.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Общее число несчастных случаев:
Вычислим среднее число несчастных случаев в день:
Предполагаемый закон Пуассона:
Оценка для параметра распределения Пуассона:
Соответствующие ожидаемые частоты:
Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:
| Значения | 0 | 1 | 2 | 3 | Итого |
|
280 | 75 | 12 | 1 | 368 |
|
278.98 | 77.28 | 10.67 | 1.104 | |
|
0.004 | 0.067 | 0.166 | 0.01 | 0.247 |
Из
расчетной таблицы
Уровень
значимости
Число
степеней свободы
По таблице критических точек распределения Пирсона:
Гипотеза
о распределении числа несчастных случаев по закону Пуассона не отвергается с
уровнем значимости
.
Ответ: Гипотеза о распределении по закону Пуассона не отвергается.
Пример 2
Отдел
технического контроля проверил
партий однотипных изделий и установил, что
число
нестандартных изделий в одной партии имеет
эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой
указано
нестандартных изделий в одной партии, а в
другой строке – количество
партий, содержащих
нестандартных изделий. Требуется при уровне
значимости
проверить гипотезу о том, что случайная
величина
(число нестандартных изделий в одной партии)
распределена по закону Пуассона.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
380 | 380 | 170 | 58 | 10 | 2 | 1000 |
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Вычислим среднюю. Для этого составим расчетную таблицу.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Итого |
|
|
380 | 380 | 170 | 58 | 10 | 2 | 1000 |
|
0 | 380 | 340 | 174 | 40 | 10 | 944 |
Предполагаемый закон Пуассона:
Теоретические частоты:
Проверим
степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона. Объединяем малочисленные частоты
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4,5 | Итого |
|
|
380 | 380 | 170 | 58 | 12 | 1000 |
|
389.068 | 367.281 | 173.356 | 54.549 | 15.304 | |
|
0.211 | 0.44 | 0.065 | 0.218 | 0.713 | 1.648 |
Из
расчетной таблицы
Уровень
значимости
Число
степеней свободы
По
таблице критических точек распределения:
Гипотеза о распределении случайной величины по закону Пуассона не отвергается.
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд числа дефектных изделий.
| Число дефектных изделий в партии | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Число партий | 159 | 105 | 47 | 23 | 6 |
Используя результаты анализа и
предполагая, что распределение числа дефектных изделий в партии подчиняется
закону Пуассона, определить теоретическое число партий с
дефектными
изделиями.
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 2
С помощью критерия Пирсона на уровне
значимости
проверить
гипотезу о законе распределения Пуассона на основании следующих данных:
|
130 | 75 | 35 | 10 |
|
137 | 80 | 27 | 6 |
Задача 3
Фирма с целью установления известности ее продукции опросила в каждом из 100 населенных пунктов по 20 человек. Распределение Х – числа пунктов, не знакомых с продукцией фирмы, таково:
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Число пунктов | 65 | 20 | 10 | 3 | 1 | 1 |
Можно ли при 5%-ном уровне значимости считать, что число незнакомых с продукцией фирмы подчиняется закону Пуассона?
Задача 4
Имеются следующие данные о засоренности партии семян клевера семенами сорняков:
|
Число семян в одной
пробе,
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ∑ |
|
Число проб,
|
405 | 366 | 175 | 40 | 8 | 4 | 2 | 1000 |
На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о
том, что случайная величина X— число семян сорняков - распределена по закону
Пуассона, используя критерий
- Пирсона.
Задача 5
Случайная величина
-число пожаров,
произошедших за одни сутки в городе. Данные за год приведены в таблице (
-число суток, в
которые произошло
пожаров).
|
|
0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 8 |
|
|
230 | 100 | 15 | 6 | 8 | 6 |
Проверить с помощью
-критерия статистическую гипотезу о пуассоновском распределении
величины
при уровне
значимости
.