Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Динамическое программирование. Задача оптимального распределения ресурсов

Краткая теория

Динамическое программирование (иначе — динамическое планирование) — это метод нахождения оптимальных решений в задачах с многошаговой (многоэтапной) структурой. Многие экономические процессы расчленяются на шаги естественным образом. Это все процессы планирования и управления, развиваемые во времени. Естественным шагом в них может быть год, квартал, месяц, декада, неделя, день и т. д. Однако метод динамического программирования может использоваться при решении задач, где время вообще не фигурирует; разделение на шаги в таких задачах вводится искусственно. Поэтому «динамика» задач динамического программирования заключается в методе решения.

В экономической практике встречается несколько типов задач, которые по постановке или способу решения относятся к задачам динамического программирования. Это задачи оптимального перспективного и текущего планирования во времени. Их решают либо путем составления комплекса взаимосвязанных статических моделей для каждого периода, либо путем составления единой динамической задачи оптимального программирования с применением многошаговой процедуры принятия решений. К задачам динамического программирования следует отнести задачи многошагового нахождения оптимума при размещении производительных сил, а также оптимального быстродействия.

Типичные особенности многошаговых задач.

1. Рассматривается система, состояние которой на каждом шаге определяется вектором . Дальнейшее изменение ее состояния зависит только от данного состояния  и не зависит от того, каким путем система пришла в него. Такие процессы называются процессами без последействия.

2. На каждом шаге выбирается одно решение , под действием которого система переходит из предыдущего состояния  в новое . Это новое состояние является функцией состояния на начало интервала  и принятого в начале интервала решения  т. е.

 3. Действие на каждом шаге связано с определенным выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), которые зависят от состояния на начало шага (этапа) и принятого решения.

4. На векторы состояния и управления могут быть наложены ограничения, объединение которых составляет область допустимых решений .

5. Требуется найти такое допустимое управление  для каждого шага , чтобы получить экстремальное значение функции цели за все  шагов.

Любую многошаговую задачу можно решать по-разному. Во-первых, можно считать неизвестными величинами щ и находить экстремум целевой функции одним из существующих методов оптимизации, т. е. искать сразу все элементы решения на всех  шагах. Отметим, что этот путь не всегда приводит к цели, особенно когда целевая функция задана в виде таблиц или число переменных очень велико. Второй путь основан на идее проведения оптимизации поэтапно. Поэтапность отнюдь не предполагает изолированности в оптимизации этапов. Наоборот, управление на каждом шаге выбирается с учетом всех его последствий. Обычно второй способ оптимизации оказывается проще, чем первый, особенно при большом числе шагов. Идея постепенной, пошаговой оптимизации составляет суть метода динамического программирования. Оптимизация одного шага, как правило, проще оптимизации всего процесса в целом. Лучше много раз решать сравнительно простую задачу, чем один раз — сложную.

С первого взгляда идея может показаться тривиальной: если трудно оптимизировать сложную задачу, то следует разбить ее на ряд более простых. На каждом шаге оптимизируется задача малого размера, что уже нетрудно. При этом принцип динамического программирования вовсе не предполагает, что каждый шаг оптимизируется изолированно, независимо от других. Напротив, пошаговое управление должно выбираться с учетом всех его последствий.

Можно сформулировать следующие принципы, лежащие в основе динамического программирования: принцип оптимальности и принцип погружения.

Оптимальное управление на каждом шаге определяется состоянием системы на начало этого шага и целью управления. Или в развернутой форме: оптимальная стратегия обладает таким свойством, что, каковы бы ни были начальное состояние и начальные решения, последующие решения должны приниматься исходя из оптимальной стратегии с учетом состояния, вытекающего из первого решения. Этот принцип имеет довольно простую математическую интерпретацию, выражающуюся в составлении определенных рекуррентных соотношений (функциональных уравнений Р. Беллмана).

Природа задачи, допускающей использование метода динамического программирования не меняется при изменении количества шагов , т. е. форма такой задачи инвариантна относительно . В этом смысле всякий конкретный процесс с заданным числом шагов оказывается как бы погруженным в семейство подобных ему процессов и может рассматриваться с позиции более широкого класса задач.

Реализация названных принципов дает гарантию того, что решение, принимаемое на очередном шаге, окажется наилучшим относительно всего процесса в целом, а не узких интересов данного этапа. Последовательность пошаговых решений приводит к решению исходной -шаговой задачи.

Дадим математическую формулировку принципа оптимальности для задач с аддитивным критерием оптимальности (сепарабельная функция цели). Для простоты будем считать, что начальное  и конечное  состояния системы заданы. Обозначим через  значение функции цели на первом этапе при начальном состоянии системы  и при управлении , через  -соответствующее значение функции цели только на втором этапе, …., через  - на  этапе, …, через  - на -м этапе. Очевидно, что

Надо найти оптимальное управление  такое, что доставляет экстремум целевой функции при ограничениях .

Для решения этой задачи погружаем ее в семейство подобных. Введем обозначения. Пусть  - соответственно области определения для подобных задач на последнем этапе, двух последних и т.д.;  - область определения исходной задачи. Обозначим через

соответственно условно-оптимальные значения функции цели на последнем этапе, двух последних и т.д., на  последних и т.д., на всех  этапах.

Начинаем с последнего этапа. Пусть  - возможные состояния системы на начало -го этапа. Находим:

Для двух последних этапов получаем:

Аналогично:

 

…………………….

…………………….

Выражение (5) представляет собой математическую запись принципа оптимальности. Выражение (4) - общая форма записи  условно-оптимального значения функции цели для  оставшихся этапов. Выражения (1)-(5) называются функциональными уравнениями Беллмана. Отчетливо просматривается их рекуррентный (возвратный) характер, т.е. для нахождения оптимального управления на  шагах нужно знать условно-оптимальное управление на предшествующих  этапах и т.д. Поэтому функциональные уравнения часто называются рекуррентными (возвратными) соотношениями Беллмана.

Пример решения задачи

Условие задачи

Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в сумме 100 млн.ден.ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию известен возможный прирост  выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от выделенной ему суммы . Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн.ден.ед. При этом предполагаем, что прирост продукции на  предприятии не зависит от суммы средств, вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении равен сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.

Требуется найти оптимальное решение распределения кредита между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции на производственном объединении был максимальным.  

Выделяемые средства , млн.ден.ед. Предприятие
№1 №2 №3 №4
Прирост выпуска продукции на предприятиях  млн.ден.ед.
20 10 12 11 16
40 31 24 36 37
60 42 36 45 46
80 62 52 60 63
100 76 74 77 80

Решение задачи

Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, на сайте всегда можно заказать cрочное решение задач по методам оптимальных решений.

Динамическое программирование представляет собой многоэтапный поиск оптимального решения. Оптимизация многошагового процесса базируется  на принципе оптимальности Р. Беллмана.

Вычисления в динамическом программировании выполняются рекуррентно - оптимальное решение одной подзадачи используется в качестве исходных данных для поиска оптимального решения следующей подзадачи. Решив последнюю подзадачу, мы получим оптимальное решение исходной задачи.

Выделяемые средства
0 0 0 0 0
20 10 12 11 16
40 31 24 36 37
60 42 36 45 46
80 62 52 60 63
100 76 74 77 80

Шаг 1

В соответствии с вычислительной схемой динамического программирования рассмотрим сначала случай , т.е. предположим, что все имеющиеся средства выделяются на реконструкцию и модернизацию одного предприятия. Обозначим через  максимально возможный дополнительный доход на этом предприятии, соответствующий выделенной сумме . Каждому значению  отвечает вполне определенное (единственное) значение  дополнительного дохода, поэтому можно записать, что:

Шаг 2

Пусть теперь , т.е. средства распределяются между двумя предприятиями. Если второму предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся другому предприятию средства  в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на двух предприятиях:

 

 

Шаг 3

Пусть теперь , т.е. средства распределяются между тремя предприятиями. Если третьему предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся средства  в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на трех предприятиях:

 

 

Шаг 4

Пусть теперь , т.е. средства распределяются между четырьмя предприятиями. Если четвертому предприятию выделена сумма , то дополнительный доход на нем составит . Оставшиеся средства  в зависимости от величины (а значит, и ) позволят увеличить дополнительный доход до максимально возможного значения . При этом условии общий дополнительный доход на четырех предприятиях:

 

Составим сводную таблицу на основе расчетов:

Выделяемые средства
0 0 0 0 0
20 10 12 12 16
40 31 31 36 37
60 42 43 48 52
80 62 62 67 73
100 76 76 79 85

Ответ

Оптимальный план распределения между 4 предприятиями 100 единиц ресурса:

0 20 40 40

При этом суммарный прирост продукции достигнет максимальной величины, равной 85.