Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Дисперсия и ее свойства

Определение дисперсии

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины  от :

Стандартное (среднее квадратичное) отклонение случайной величины  определяется как корень из дисперсии и обозначается

Для вычисления дисперсии на практике удобно пользоваться следующей формулой:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины  и квадратом ее математического ожидания.

Свойства дисперсии

Оказались на этой странице, пытаясь решить задачу на экзамене или зачете? Если так и не смогли сдать экзамен - в следующий раз договоритесь заранее на сайте об Онлайн помощи по теории вероятностей.

Свойство 1.

Свойство 2.

Дисперсия константы равна нулю:

Свойство 3.

Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

Свойство 4.

Дисперсия суммы случайных величин:

где   – ковариация  случайных величин  и

В частности, если  и  независимы, то

Прибавление константы  в случайной величине не меняет ее дисперсии:

Дисперсия разности равна сумме дисперсий:

Пример решения задачи

Задача 1

Даны законы распределения независимых случайных величин  и :

0 1
0.4 0.6

 

и

2 3
0.5 0.5

Найти закон распределения суммы . Проверить равенство

Решение:

Распределение суммы :

0+2 0+3 1+2 1+3

Окончательно получаем:

2 3 4 Итого
0.2 0.5 0.3 1

 

Вычислим математические ожидания:

Вычислим дисперсии:

Проверим равенство :

Равенство выполняется.

Задача 2

Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Решение:

Математическое ожидание биномиального распределения:

Дисперсия:

Математическое ожидание величины  – числа бракованных деталей на 1-м станке:

Дисперсия:

 

Математическое ожидание величины  – числа бракованных деталей на 2-м станке:

Дисперсия:

 

Математическое ожидание числа бракованных деталей:

Дисперсия числа бракованных деталей:

Ответ: