Математическое ожидание случайной величины и его свойства
Краткая теория
Математическим ожиданием
дискретной случайной величины
, множество возможных значений которой
конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие вероятности:
Если множество возможных значений счетное, то
Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
,
возможные значения которой принадлежат всей оси
,
определяется равенством:
где
– плотность распределения случайной величины
.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу
,
то:
Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
Свойства математического ожидания
Свойство 1.
Математическое ожидание константы равно этой константе:
Свойство 2.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Свойство 3.
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Свойство 4.
Математическое ожидания произведения случайных величин:
где
–
ковариация случайных величин
и
В частности, если
и
независимы, то
И вообще, для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий сомножителей:
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1=0,4; p2=0,3 и p3=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Число
попаданий при первом выстреле есть случайная величина
, которая может принимать
только два значения:
1 –
попадание с вероятностью
0 –
промах с вероятностью
Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле:
Аналогично находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:
Искомое математическое ожидание:
Ответ:
Пример 2
Для случайных величин X,Y известны
характеристики M(X)=3, M(Y)=7, D(X)=16, D(Y)=49, ρXY=0.35
Найдите математическое ожидание M(XY).
Решение
Коэффициент корреляции:
Искомое математическое ожидание:
Пример 3
Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:
| xi | -2 | 0 | 1 |
| pi | 0.3 | 0.2 | 0.5 |
| yi | -1 | 1 | 2 |
| pi | 0.1 | 0.7 | 0.2 |
Требуется:
- составить закон распределения случайной величины Z=3X-Y;
- найти числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;
- проверить свойство M(Z)=3M(X)-M(Y);
- построить функцию распределения для Z и построить ее график.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Составим закон распределения
:
|
-5 | -7 | -8 | 1 | -1 | -2 | 4 | 2 | 1 |
|
0.03 | 0.21 | 0.06 | 0.02 | 0.14 | 0.04 | 0.05 | 0.35 | 0.1 |
или
|
|
-8 | -7 | -5 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
|
|
0.06 | 0.21 | 0.03 | 0.04 | 0.14 | 0.12 | 0.35 | 0.05 |
Проверка:
Закон
распределения величины
:
|
-8 | -7 | -5 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
|
0.06 | 0.21 | 0.03 | 0.04 | 0.14 | 0.12 | 0.35 | 0.05 |
Найдем математические ожидания:
Проверим свойство:
– выполняется
Найдем дисперсии:
Средние квадратические отклонения:
Запишем функцию распределения:
График функции распределения
Пример 4
Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение
Обозначим
число очков, которое может выпасть на первой кости, через
, и на второй – через
.
Возможные значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.
При этом вероятность каждого из этих значений равна 1/6.
Математическое ожидание числа очков, выпавших на первой кости:
Аналогично математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:
Искомое математическое ожидание:
Ответ:
.
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Найти математическое ожидание случайной величины Z=6X-9Y+7XY-10, если известно, что M(X)=2; M(Y)=3.
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 2
Случайные
величины X и Y независимы и распределены
равномерно: X – в интервале (a,b), Y
– в интервале (c,d).
Найти математическое ожидание случайной величины Z.
a=-3, b=4, c=3, d=6, Z=6XY, M(Z)-?
Задача 3
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3+2.2X-Y, где X и Y – независимые случайные величины, если известны M(X)=1, D(X)=0.5, M(Y)=2, D(Y)=2.
Задача 4
Независимые случайные величины заданы законами распределения:
| X | 1 | 2 | 4 |
| p | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
и
| Y | -1 | 0 | 2 |
| p | 0.1 | 0.3 | 0.6 |
Построить ряд распределения F(Z), где Z=X-Y. Проверить свойства:
M(Z)=M(X)-M(Y)
D(Z)=D(X)+D(Y)
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 5
Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| X | 5 | 2 | 4 |
| p | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
и
| Y | 7 | 9 |
| p | 0,8 | 0,2 |
Найти математическое ожидание случайной величины XY
Задача 6
Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1=4 с вероятностью p1=0.5; x2=6 c вероятностью p2=0.3 и x3 с вероятностью p3. Найти x3 и p3, зная, что M(X)=8.
Задача 7
Дан перечень возможных значений случайной величины X: x1=-1, x2=0, x3=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:
M(X)=0.1, M(X2)=0.9.
Найти вероятности p1, p2, p3 соответствующие возможным значениям x1, x2, x3.
Задача 8
Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X:
x1=1, x2=2, x3=3
А также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:
M(X)=2.3
M(X2)=5.9
Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.