Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Сходимость степенного ряда - радиус и область сходимости

Краткая теория

Функциональным рядом называется ряд вида:

где  – функции, определенные на некотором множестве .

Множество  всех точек сходимости ряда (*) называется его областью сходимости.

В области сходимости   определены функции:

( n-я частичная сумма ряда)

(сумма ряда)

(остаток ряда)

Ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Из всех функциональных рядов наиболее часто применяют степенные ряды, которыми называют ряды вида

Действительные числа  называют коэффициентами ряда.

Неотрицательное число , такое, что ряд (**) сходится в интервале  и расходится вне этого интервала, называется радиусом сходимости этого ряда, а интервал  – интервалом сходимости ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам:

или

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда при всех значениях  из интервала сходимости есть непрерывная функция.

2. Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то есть:

3. Степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем:

Пример решения задачи

Условие задачи

Найдите область сходимости степенного ряда:

Если перед сессией вам объективно не до выполнения заданий по высшей математике, то существует возможность заказать контрольную работу на сайте 100task.ru. Подробнее по ссылке Выполнить контрольную работу по высшей математике...

Решение задачи

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

В нашем случае:

Интервал сходимости:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

При

Это знакопеременный ряд.

 -абсолютные величины членов ряда монотонно убывают

По признаку Лейбница ряд сходится

При

Это ряд Дирихле - сходится, так как показатель степени в знаменателе больше единицы

Область сходимости:

Ответ: .