Вычисление пределов функции.
Первый и второй замечательные пределы
- Правила вычисления пределов
- Первый замечательный предел
- Второй замечательный предел
- Предел логарифма
Число
называется
пределом функции
в
точке
, если для всех значений
, достаточно близких к
и
отличных от
значения
функции
сколь
угодно мало отличаются от числа
.
Пишут:
Правила вычисления пределов
Пусть существуют пределы
Тогда:
1. Предел константы равен самой константе:
2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
4. Постоянный множитель выносится за знак предела:
5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:
6. Показатель степени можно выносить за знак предела:
Универсальный метод, устраняющий неопределенности
и
носит название
правила Лопиталя
и рассматривается на соседней странице.
Пример 1
Если
и
– целые многочлены и
или
0,
то предел рациональной дроби:
находится непосредственно.
Например:
Пример 2
Если же
,
то дробь
рекомендуется сократить один или несколько раз
на бином
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Например:
Пример 3
При
отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно
при
оба члена отношения полезно предварительно
разделить на
, где
– наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.
Например:
1)
2)
Пример 4
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.
Например:
Полагая
получаем:
Пример 5
Другим приемом вычисления предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.
Например:
Пример 6
Первый замечательный предел
При вычислении пределов во многих случаях используется формула первого замечательного предела:
Например:
Пример 7
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел:
При вычислении пределов вида
следует иметь ввиду, что:
1) если существуют конечные пределы
то
2) если
то вопрос о решении предела
решается непосредственно
3) если
то полагают
,
где
при
,
и следовательно
где
- неперово число
Например:
Пример 8
Предел логарифма
При вычислении некоторых пределов полезно знать, что если существует и положителен
то
Например:
