Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Краткая теория

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных находятся все остальные переменные.

Система  линейных уравнений с  переменными имеет вид:

где  – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Предположим, что в системе коэффициент при переменной  в первом уравнении  (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что ).

Шаг 1.  Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на ) и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, -му уравнению системы, исключим переменную  из всех последующих уравнений системы, начиная со второго. Получим:

буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2.  Предположим  (если это не так, то перестановкой уравнений местами или переменных с изменением их номеров  добьемся того, что ).

Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на ) и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,…, -му уравнению системы, исключим переменную  из всех последующих уравнений системы, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после  –го шага получим систему:

 

Нулю в последних  уравнениях означает, что их левые части имеют вид . Если хотя бы одно из чисел  не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа  равны нулю. В этом случае последние  уравнений являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении исходной системы. Очевидно, что при отбрасывании лишних уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы равно числу переменных, то есть  (в этом случае преобразованная система имеет треугольный вид); б)  (в этом случае система имеет ступенчатый вид).

Переход исходной системы к преобразованной равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из преобразованной системы – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобной производить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:

называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме матрицы , дополнительно включен столбец свободных членов.

Пример решения задачи

Условие задачи

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Если перед сессией вам объективно не до выполнения заданий по высшей математике, то существует возможность заказать контрольную работу на сайте 100task.ru. Подробнее по ссылке Выполнить контрольную работу по высшей математике...

Решение задачи

Приведем расширенную матрицу системы к диагональному виду.

Шаг 1.

Умножим 1-ю строку на 2, 3-ю строку на 2. Вычтем 1-ю строку из 2-й, 3-й. Упростим строки, для этого 1-ю строку разделим на 2, 3-ю строку разделим на 2.

Шаг 2.

Умножим 2-ю строку на 2. Вычтем 2-ю строку из 3-й. Упростим строки, для этого 2-ю строку разделим на 2, 3-ю строку разделим на 7.

Исходная система уравнений в соответствии с элементарными преобразованиями эквивалента следующей системе:

 

Ответ: .