Действия над матрицами

Что такое матрица

Таблица чисел  вида

состоящая из  строк и  столбцов называется матрицей. Числа  называются ее элементами.

Под решением матрицы обычно понимают проведение таких операций как нахождение обратной матрицы, нахождение определителя, умножение матрицы на число и другое. Кроме того действия могут проводиться сразу над несколькими матрицами. То есть матрицы могут между собой складываться, перемножаться. Все эти так называемые решения матриц проводятся по определенным схемам или алгоритмам. Обратите внимание что действия над матрицами выполняются по определенным правилам и дело тут не в сложности этих правил, а в старательности и внимательности при вычислениях.

Определитель матрицы и его вычисление

Рассмотрим квадратную матрицу:

порядка . Из элементов этой матрицы составим всевозможные произведения так, чтобы они содержали по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. В каждом из этих произведений сомножители (которых будет ) расположим таким образом, чтобы первые индексы образовали перестановку . В результате полученные произведения будут иметь вид:

где  – некоторая перестановка чисел 1,2,3…n. Очевидно, что число всевозможных произведений составленных из элементов матрицы по приведенному выше правилу будет равно числу всевозможных перестановок из множества вторых индексов сомножителей произведений, то есть из чисел , или то же самое, числу перестановок из чисел , а таких перестановок будет . Каждая перестановка будет иметь некоторое число инверсий, образованных вторыми индексами сомножителей произведений. Условимся перед произведением ставить плюс если число инверсий четное (то есть перестановка вторых индексов четная), и минус, если число инверсий нечетное (то есть перестановка вторых индексов нечетная).

Просуммировав все произведения вида (*) составленные из матрицы и взятые с указанными знаками, получим число, называемое определителем.

Для определителя, как и для матрицы, используются такие понятия, как строка, столбец, главная и побочная диагонали и т. п. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю,— вырожденной.

Рассмотрим частные случаи определителей:

Определитель 2-го порядка:

 Определитель третьего порядка:

Для его вычисления удобно пользоваться следующей схемой:

Для определителей порядка выше третьего неудобно запоминать какую-либо символическую схему, так как, например, определитель уже четвертого порядка есть алгебраическая сумма 24 слагаемых, каждое из которых является произведением четырех сомножителей.

Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычерчиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .

В общем случае определителем  порядка, соответствующим квадратной матрице  порядка можно назвать число, равное сумме парных произведении элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Обратная матрица

Пусть  – квадратная невырожденная матрица n-го порядка. Обратной матрицей  для матрицы  называется матрица, для которой справедливо равенство:

где  – единичная матрица

Обратная матрица  определена только для квадратных невырожденных матриц и вычисляется по формуле:

где  – определитель матрицы , а матрица  (союзная матрица) получается из матрицы  заменой всех ее элементов соответствующими им алгебраическими дополнениями.

Транспонирование матрицы

Замена каждой строки матрицы  ее столбцов называется транспонированием. Транспонированная по отношению к матрице  матрица обозначается .

Если задана матрица

то ее транспонированная матрица имеет вид:

Сумма матриц и произведение матрицы на число

Суммой матриц  и   называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Для суммы матриц используют обозначение

Произведением матрицы  на число  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Для произведения матрицы на число используют обозначение .

Произведение матриц

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Из определения умножения матриц следует, что элемент  в матрице  является суммой произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы  и j-го столбца матрицы . На рисунке схематично показано получение элемент  в произведении матриц

Для произведения матриц используют обозначение

Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица.