Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение WhatsApp, ВКонтакте или Viber. Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужна. Мгновенная связь через в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников.
Опыт работы более 20 лет.
Оплата на карту Сбербанка (другие распространенные способы оплаты по договоренности).
Стоимость решения домашней работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ). Подробное оформление с выводами. Стоимость помощи на экзамене онлайн (в этом случае необходима 100% предоплата) - от 1000 р. за решение билета.

Разложение функций в степенной ряд Тейлора (Маклорена)

Краткая теория

Если функция  допускает в некоторой окрестности  точки  разложение в степенной ряд по степеням , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид

При  ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Последнее равенство справедливо, если при  остаточный член ряда Тейлора

при

Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой (форма Лагранжа)

Пример решения задачи

Разложить функцию  в ряд по степеням .

Находим производные данной функции:

….

Вообще , если  – четное, и , если  – нечетное

Полагая  получаем:

….

Вообще , если  – четное, и , если  – нечетное

На основании формулы разложения в ряд Тейлора имеем:

Для определения интервала сходимости ряда применим признак Даламбера.

при любом . Следовательно, ряд сходится в интервале . Остаточный член имеет вид:

Так как , то

Поэтому:

Ряд с общим членом  сходится при любом  (в этом можно убедиться с помощью признака Даламбера), поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости:

а следовательно, при любом .

Это значит, что сумма ряда для любого  действительно равна .

Разложение основных функций в степенной ряд Маклорена

Пользуясь основными разложениями, а также формулой для геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.

I.  Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем .

 

II.  Разложение экспоненты в ряд Маклорена

 

III. Разложение синуса в ряд Маклорена

 

IV. Разложение косинуса в ряд Маклорена

 

V.  Биномиальный ряд

 

VI.

 

VII. Разложение арктангенса в ряд Маклорена

Задачи и теория на такую же или близкую тему
Сохранить ссылку на страницу в социальной сети:

Если испытываете затруднения в решении задач по высшей математике или не хватает времени на самостоятельное освоение предмета, то вы можете обратиться за помощью, отправив сообщение в ВКонтакте, WhatsApp, на Viber или заполнив форму.
Оплата на карту Сбербанка (другие распространенные способы оплаты по договоренности).
Стоимость решения домашней работы начинается от 50 р. за пример (но не менее 300 р. за весь заказ). Подробное оформление. Стоимость помощи на экзамене онлайн (в этом случае необходима 100% предоплата) - от 1000 р. за решение билета. Подробнее...

@100task.ru 2009-2018 Москва Спб Екатеринбург Сургут Самара Краснодар Омск